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二、几个初等函数麦克劳林公式一、泰勒公式建立三、泰勒公式应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算§5.3泰勒(Taylor)公式1第1页
特点:一、泰勒公式建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要处理问题怎样提升精度?怎样预计误差?x一次多项式2第2页
1.求n次近似多项式要求:故令则3第3页
2.余项预计令(称为余项),则有4第4页
5第5页
公式①称为n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶导数,时,有①其中②则当6第6页
公式③称为n阶泰勒公式佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项准确表示式时,泰勒公式可写为注意到③④*能够证实:④式成立7第7页
特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差8第8页
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差预计式若在公式成立区间上由此得近似公式9第9页
二、几个初等函数麦克劳林公式其中10第10页
其中11第11页
类似可得其中12第12页
其中13第13页
已知其中类似可得14第14页
三、泰勒公式应用1.在近似计算中应用误差M为在包含0,x某区间上上界.需解问题类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并预计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x适用范围.15第15页
已知例1.计算无理数e近似值,使误差不超出解:令x=1,得因为欲使由计算可知当n=9时上式成立,所以麦克劳林公式为16第16页
说明:注意舍入误差对计算结果影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超出总误差为这时得到近似值不能确保误差不超出所以计算时中间结果应比精度要求多取一位.17第17页
例2.用近似公式计算cosx近似值,使其准确到0.005,试确定x适用范围.解:近似公式误差令解得即当时,由给定近似公式计算结果能准确到0.005.18第18页
2.利用泰勒公式求极限例3.求解:因为用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,19第19页
3.利用泰勒公式证实不等式例4.证实证:20第20页
内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.21第21页
2.惯用函数麦克劳林公式3.泰勒公式应用(1)近似计算(3)其它应用求极限,证实不等式等.(2)利用多项式迫近函数,22第22页
42246420246泰勒多项式迫近23第23页
42246420246泰勒多项式迫近24第24页
思索与练习计算解:原式25第25页
由题设对证:备用题1.有且26第26页
下式减上式,得令27第27页
两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!2.证实e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.28第28页
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