2025届中考数学中档及压轴题方法与技巧复习专题03：圆的综合训练（解析版）.docxVIP

2025届中考复习

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2025届中考复习专题03:圆的综合训练

总览

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题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】圆中利用勾股求线段长 1

【题型2】求圆中阴影面积 9

【题型3】圆与三角函数 16

【题型4】圆中截长补短构造手拉手模型 31

【题型5】圆与相似 42

【题型6】圆中的动点问题 57

【题型7】圆中的探究性问题 70

【题型8】圆的综合性问题 80

【题型9】圆中的定值问题 101

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】圆中利用勾股求线段长

【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．

(1)求证：；

(2)若，，求的半径．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．

【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，

∵，，

∴垂直平分，

∴，，

∵为的切线，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴四边形为矩形，

∴；

（2）由（1）知四边形为矩形，，，

∴，

∴，

设的半径为，则：，

在中，由勾股定理，得：，

解得：；即：的半径为．

【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．

(1)求证：；

(2)若，，求的半径．

【答案】(1)证明见解析;(2)

【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；

（2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵AB为切线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

∴．

（2）解：在中，，

∵，

在和中，，，

∴，

∴，

∴，

设的半径为r，则，，

在中，，

解得，∴半径的长为3

【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．

(1)求证：平分；

(2)如果，，求的半径．

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分；

（2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可．

【详解】（1）证明：如图，连接．

∵直线与相切于点，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，即平分；

（2）解：设的半径为r，则，．

在中，，

∴，

解得：，

∴的半径为4．

【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，

??

(1)求证：是切线；

(2)求；

(3)求的值．

【答案】(1)见解析；(2)；(3)

【分析】（1）连接，圆周角定理结合角平分线，推出，直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，根据，得到，即可得证；

（2）先证明，得到，求出的长，进而求出的长，求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可；

（3），得到，设，，勾股定理求出的值，推出，进而得到，求出的长，设，，勾股定理求出的值，即可．

【详解】（1）证明：连接，

??是的平分线，

．

，

．

．?????????

，

，?????

．???????

，

．

在上，

是的切线．

（2）解：，

．

，

又，

．??

又，

．

．

，，

，则．

，则=2.5．

，

．

（3）解：，

．

设，，

，

，即．

．

．

．

．

，

．

．

．

在中，设，，

，即

，

∴=

【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F．

(1)求证：为的切线；

(2)当时，求的半径；

(3)试探究线段和之间的数量关系．

【答案】(1)见解析

(2)的半径为3

(3)

【分析】（1）连接，由是的平分线，得，从而，即可得是的切线；

（2）设的半径为由为中点，得，根据，有，即，即可得；

（3）过作于，先证明四边形是矩形，得，又，有中，，即得．

【详解】（1）证明：连接，如图：

∵是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）解：设的半径为，如图：

∵为中点，

，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

即圆的半径为3；

（3）解：过作于，如图：

∵，

∴四边形是矩形，