高中一轮复习理数通用版课时达标检测（四十六）曲线与方程.doc

课时达标检测（四十六）曲线与方程

[小题常考题点——准解快解]

1．方程(2x＋3y－1)(eq\r(x－3)－1)＝0表示的曲线是()

A．两条直线 B．两条射线

C．两条线段 D．一条直线和一条射线

解析：选D原方程可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,x－3≥0，))或eq\r(x－3)－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．

2．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若eq\o(MN,\s\up7(―→))2＝λeq\o(AN,\s\up7(―→))·eq\o(NB,\s\up7(―→))，当λ＜0时，动点M的轨迹为()

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

解析：选C设M(x，y)，则N(x,0)，所以eq\o(MN,\s\up7(―→))2＝y2，λeq\o(AN,\s\up7(―→))·eq\o(NB,\s\up7(―→))＝λ(x＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋eq\f(y2,λ)＝1.又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．

3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq\o(OC,\s\up7(―→))＝λ1eq\o(OA,\s\up7(―→))＋λ2eq\o(OB,\s\up7(―→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()

A．直线 B．椭圆

C．圆 D．双曲线

解析：选A设C(x，y)，则eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝(－1,3)．∵eq\o(OC,\s\up7(―→))＝λ1eq\o(OA,\s\up7(―→))＋λ2eq\o(OB,\s\up7(―→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))

又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．

4．(2018·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq\o(BP,\s\up7(―→))＝2eq\o(PA,\s\up7(―→))，且eq\o(OQ,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝1，则点P的轨迹方程是()

A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)

B.eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)

D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)

解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由eq\o(BP,\s\up7(―→))＝2eq\o(PA,\s\up7(―→))，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝eq\f(3,2)x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由eq\o(OQ,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝eq\f(3,2)x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．

5．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．

解析：设A(x，y)，由题意可知Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).又∵|CD|＝3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－5))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．

答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)

6．设F1，F2为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________．

解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝