高考数学理科导数.docVIP

导数

平均变化率的概念

平均变化率的概念

概念

概念

导数的概念

导数的概念

导数的公式

导数的公式

导数

导数

复合函数的求导法那么导数的运算法那么

复合函数的求导法那么

导数的运算法那么

单调性

单调性

用导数研究函数的性质

用导数研究函数的性质

极值与最值

极值与最值

导数的应用

导数的应用

概念

概念

性质补集补集定积分

性质

补集

补集

定积分

应用〔求面积〕

应用〔求面积〕

1.1变化率问题

1.1.1平均变化率概念:

式子,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。假设设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)那么平均变化率为

【典型例题】

x例1．函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,那么．

x

解：，

∴

求在附近的平均变化率。

解：，所以

所以在附近的平均变化率为。

1.2导数与导函数的概念

1,2.1导数概念

一般的，定义在区间〔，〕上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，那么称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，

上述两个问题中：〔1〕，〔2〕

1.2.2几何意义：

在处的导数就是在处的切线斜率。

【典型例题】

例4．〔1〕求函数在x=1处的导数.

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2

再求再求。

解：法一〔略〕

法二：

〔2〕求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

1.3对数函数与指数函数的导数

1.3.1公式

公式一

公式二

公式三

公式四

【典型例题】

例5

〔1〕；〔2〕；〔3〕

答案：〔〕；；secx。

例6:〔1〕求曲线在点P(1,2)处的切线方程.

〔2〕求函数在点处的导数.

解：〔1〕

,

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即。

〔2〕因为

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即

〔3〕求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

例7．〔课本例2〕如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

，根据图像，请描述、比拟曲线在、、附近的变化情况．

解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比拟平坦，几乎没有升降．

当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．

1.4根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么

1.4.1根本初等函数的导数公式表

函数

导数

1.4.2导数的运算法那么

导数运算法那么

1．

2．

3．

注意：

常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。

【典型例题】

例8．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p〔单位：元〕与时间t〔单位：年〕有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少〔精确到0.01〕？

解：根据根本初等函数导数公式表，有

所以

〔元/年〕

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例9日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高，所需净化费用不断增加．将1吨水净化到纯洁度为时所需费用〔单位：元〕为

求净化到以下纯洁度时，所需净化费用的瞬时变化率：〔1〕90%〔2〕98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

因为

，

所以，纯洁度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．

因为

，

所以，纯洁度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯洁度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯洁度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯洁度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

1.5复合函数的求导法那么

1.5.1复合函数的概念

一般地，对于两个函数和，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

1.5.2复合函数的导数

复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

假设，那么.

【典型例题】

例10求的导数．

分析：利用公式求解.

例11曲线y＝x〔x＋1〕〔2－x〕有两条平行于直线y＝x的切线，求此二