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数值分析ComputationalMethod
Chapter8矩阵特征值的计算
第8章矩阵特征值的计算
8．1引言 确定矩阵特征值及相应特征向量，通常有两条途径：设法求出特征多项式及其零点，但，由于特征值经常对特征多项式的系数很‘敏感’，即当系数有稍许偏差，往往导致特征值有较大的偏离。除对少数特征矩阵外，一般不用。根据问题的特点和要求，对矩阵实施某种运算或变换（如乘幂法、相似变换）达到求矩阵的模最大（小）的特征值，部分的特征值或全部的特征值。矩阵特征值的一些性质。
8．2幂法及反幂法
1.幂法幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及相应特征向量的迭代解法，特别适用于大型稀疏矩阵。设矩阵有，则称为的特征值，称为对应于的特征向量。
而01任意初始向量02设(1)是相应的特征值.03设有n个线性无关的特征向量组:
则是特征向量若(2)是重根:
其中:一般:则:12345绝对值最大分量中的最小下标.为了克服”溢出”,采用规范化作法:证明规范化幂法
证明一般:
例求A的特征值和特征向量.解k01迭代向量分11量1max1110011123213-0.75-2-1-41213-0.752-4
4567-2.5-.710-2.428-.708-2.416-.707-2.414-.7073.513.42813.41613.4141-2.5-.710-2.428-.708-2.416-.707-2.414-.7073.53.4283.4163.414
2.加速方法(原点平移法),设的特征值为则:
使用幂法,取计算得到加速.01使用幂法,取计算得到加速.02
2.反幂法反幂法用于(1)计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量;(2)已知某近似特征值的特征向量。
反幂法计算公式:注(1)第一步可解方程:注(2)可用来加速.
例用反幂法求矩阵A的最接近的特征值和特征向量.01解02其中:03
计算公式:k01迭代向量分1-2.454545011-1-.1957087max1-2.4545450
23-41-411.0781837-.234537771-7850467-77934009-44.5409417245-41-411-06778765-77946037-77945852-.171632117-44设又Q-R算法是计算矩阵的所有特征值的再设一般:现代化方法。前述矩阵A有Q-R分解.Q是正交阵,R是上三角阵.8.3Q-R算法
可证:即的对角元收敛于的特征值.
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