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三角形的垂心与应用
一.基本原理
(1)三角形三条高线的交点.
—fff——
(2)垂心为。oOAOB=OBOC=OCOA
(3)垂心性质.
点H是△被7所在平内任一点,HAHB=HBHC=HCHA。点H是△放的垂心.由
HAHB=HBHC^HB(HC-HA)=O^HBAC=O^HBLAC,
同理诙_L赢,豆,前.故〃是△胸的垂心.(反之亦然(证略))
(4)布里安香定理:
若AA5C的顶点在反比例函数肛=相的图像上,则AABC的垂心也在反比例函数的图像
上.
证明:由于点A、3在反比例函数盯=(7。0)的图像上,所以乙力=加,4方=根.
mmm(x-x)
R4
故%-%=一,贝!l、,、,、,一
m
/XBXXk-yA-y_m_yy
ABKAB-B--AB
XXXXm
A-BAB
ZTZT*Y
由于B=,则过点C与直线AB垂直的直线心的斜率为弛,所以4为:
XAXBm
xxx-myXXX-my.同理,过点5且与直线AC垂直的直线4为
ABABCc
—my=xxx-my.联立l.l的方程解得
ABcBBc
XH=号匹一工=———,y=-//%=2,故XR丁旧=机,即垂心H也
H
XAIXB-XC)XAXBXCmyyy
ABc
在反比例函数图象上.
二.典例分析
例1.设。是平上一定点,A,B,C是平上不共线的三点,动点P满足
(ABAC
OP=OA+A1,Ae0,+oo),则点P的轨迹经过VABC的(
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