中考数学几何模型决胜88招模型82 几何最值之圆与三点共线.docx

模型82几何最值之圆与三点共线

跟踪练习

1.如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()

A.2B.5

C.3D.

2.如图,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()

A.2+1

C.22+1

3.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.点E是线段AD上的动点(点E不与点A,D重合),连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F.

(1)求证:△AEF∽△DCE;

(2)如图2,连接CF,过点B作BG⊥CF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.

①求AG+GM的最小值;

②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长.

1.A解析:如图,连接AM,∵点B和点M关于直线AP对称,∴AB=AM=3,∴点M在以A为圆心，3为半径的圆上运动,∴当A,M,C三点共线时,CM最短.∵AC=3

2.B解析：∵点C为坐标平面内一点，BC=1,∴点C在以B为圆心,1为半径的圆上.在x轴上取OD=OA=2,连接CD,如图,∵AM=CM,OD=OA,∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD,即当OM的值取最大时，CD的值也最大，此时D，B，C三点共线，且点C在DB的延长线上.∵OB=OD=2,∠BOD=90°,∴BD=22,∴CD=2

3.解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°.

∵EF⊥CE,∴∠CED+∠AEF=90°,

∴∠DCE=∠AEF,又∵∠A=∠D,

∴△AEF∽△DCE.

(2)①如图1,连接AM.

∵BG⊥CF,M是线段BC的中点,

∴BM=CM=GM=

∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.

∴当A,G,M三点共线时,AG+GM取得最小值，最小值为AM的长.

在Rt△ABM中,AM=A

②方法一:如图2,过点M作MN∥AB交FC于点N,

则△CMN∽△CBF,∴

设AF=x,0x4,则BF=4-x,

∴MN=

∴△AFG△MNG,∴

由①知AG+GM的最小值为5,即AM=5,

又∵GM=3,∴AG=2,

∴x

由(1)的结论可得AFDE=AEDC,设DE=y,0y6,则AE=6-y,∴1

∵03+

∴DE=3+5或

方法二：如图3，过点G作GH∥AB交BC于点H,

则△MHG∽△MBA,

∴

由①知AG+GM的最小值为5,即AM=5,

又∵GM=3,∴35

由GH∥AB得△CHG∽△CBF,∴GHFB=CH

由(1)的结论可得AFDE=AEDC,设DE=y,0y6,则AE=6-y,∴1

∵03+

∴DE=3+5或