中考数学几何模型决胜88招模型70 圆幂定理之切割线定理.docx

模型70圆幂定理之切割线定理

跟踪练习

1.如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点,PA切⊙O于点A,若PC=2,BC=6,则P4的长为()

A.无限长B.

C.4D.2

2.如图,PB为⊙O的切线,B为切点,连接PO交⊙O于点A,PA=2,PO=5,则PB的长为.

3.阅读下面材料，并完成相应的任务.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.下面是不完整的证明过程，请补充完整.

已知：如图1，P为⊙O外一点，PA与⊙O交于A,B两点,PM与⊙O相切于点M.

求证：P

证明:如图2,连接AM,BM,连接MO并延长交⊙O于点C，连接BC.

∵PM为⊙O的切线,∴=90°,

∴∠CMB+∠BMP=90°.

∵CM为⊙O的直径,∴=90°,

∴∠CMB+∠MCB=90°,

∴∠MCB=.

∵∠MAB=∠MCB,∴∠BMP=∠MAB.

∵∠P=∠P,

∴△PBM∽,∴

【学习任务】

如图3，若线段AB与⊙O相交于C，D两点,且AC=BD,射线AE,BF为⊙O的两条切线，切点分别为E，F,连接CF.求证:AE=BF.

模型进阶

跟踪练习

1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E为AC边上一点,过C作CD∥AB交射线BE于点D,△ABC的外接圆⊙O与BD交于点F,连接AF,AD,若∠BDC=∠FAD.

(1)求证:AD为⊙O的切线;

(2)若BC=6,∠ACB=30°,求CE的长.

2.如图，已知半径为R的⊙O?的直径AB和弦CD交于点M,点A为CD的中点.半径为r的⊙O?是过点A,C,M的圆,设点A到CD的距离为d.

(1)求证:r

(2)连接BD,若AC=5,O

(3)过点O?作EF∥AC,交CD于点E，交⊙O?过点B的切线于点F,连接AF,交CD于点G,求证:MG=CG.

3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE?AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F

(1)求证:EF是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为72

4.如图,线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A,C两点,AD为⊙O的弦,连接BD,∠BAD=∠ABD=30°,连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F.

(1)求证:BD是⊙O的切线;

(2)求证:2A

(3)若BC=1,求BF的长.

直击中考

5.(2022·山东枣庄模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AC平分∠BAD,过点C的切线交直径AB的延长线于点E,连接AD,BC.

(1)求证:∠BCE=∠CAD;

(2)若AB=10,AD=6,∠E=36°,求CE的长和AD的长.

6.如图,以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上,过点C作CD∥AB,且CD=OB.连接AD,分别交OC,BC于点E,F,与半圆O交于点G,若∠ABC=45°.

(1)求证:①△ABF∽△DCF;

②CD是半圆O的切线.

(2)求EFFG

跟踪练习

1.C解析:方法一:连接OA(图略),易知OA⊥AP,由BC=6,PC=2,得OP=5,OA=3,所以AP=OP

方法二:如图,连接AC,AB,OA,∵PA为⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠OAC+∠CAP=90°.∵BC是⊙O的直径,∴∠CAB=90°,∴∠BAO+∠OAC=90°,∴∠BAO=∠CAP.∵OB=OA,∴∠ABO=∠BAO=∠CAP.∵∠P=∠P,∴△ACP∽△BAP,∴PCA=PA=B,∴PA2=PC·PB.∵PC=2,BC=6,∴PB=8,∴PA2=PC·PB=16,∴PA=4.

2.4解析:如图,延长PO交⊙O于C,连接AB,OB,BC,∵PB为⊙O的切线,∴∠OBP=90°,∴∠OBA+∠ABP=90°.

∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,

∴∠OBA+∠CBO=90°,∴∠ABP=∠OBC.

∵OB=OC,∴∠BCP=∠OBC=∠ABP.

∵∠P=∠P,∴△BCP∽△ABP,∴PCPB=

3.解析:∠CMP∠CBM∠BMP△PMA

【学习任务】证明:∵AE,BF为⊙O的两条切线，

由题干中的切割线定理得