中考数学几何模型决胜88招模型48 勾股定理之垂美四边形.docx

模型48勾股定理之垂美四边形

1.如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出菱形ABCD面积的是()

A.12AE·BCB.1

C.AC·BDD.BC·DG

2.如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,NE,NF，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是()

A.AB=CD,AB⊥CD

B.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,AD⊥BD

D.AB=CD,AD∥BC

3.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,BD=16,AC=30,E,F分别为AB,CD的中点,则EF=()

A.15B.16C.17D.8

4.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=12,则四边形ABCD面积的最大值为()

A.6B.18C.36D.144

5.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由.

(2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+CD

(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

6.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图1所示的位置摆放(点E，A，D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图2)，还能得到BE=DG吗?若能，请给出证明；若不能，请说明理由.

(2)把背景中的两个正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图3)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由.

(3)把背景中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD,且AEAG

试求DE

1.D解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴S

2.A解析:∵点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,∴EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线,∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,EN=1

3.C解析:如图,取BC的中点P,连接PE,PF,∵E,P分别为AB,BC的中点,∴EP是△ABC的中位线,∴EP=12AC=15,EP∥AC,∴∠BPE=∠BCA,同理可得,FP=12

4.B解析:设AC=x,则BD=12-x,则四边形ABCD的面积=12AC×BD=1

5.解析：(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下:如图1,连接AC,BD,

∵AB=AD,

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD,

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形.

2

证明如下：

∵AC⊥BD,

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AD2+BC

∴A

(3)如图2,连接CG,BE,设CE交AB于点M,CE交BG于点N.

∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

∴AG=AC,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,

{

∴△GAB≌△CAE(SAS),

∴∠ABG=∠AEC.

∵∠AEC+∠AME=90°,

∴∠ABG+∠AME=90°,

∵∠AME=∠BMN,

∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM=90°,即CE⊥BG,

∴四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得,C

∵AC=4,AB=5,

∴BC=

∵CG=

BE=

∴GE2

∴GE=

6.解析:(1)能得到BE=DG.证明如下:

∵四边形AEFG为正方形，

∴AE=AG,∠EAG=90°,

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∴∠EAB=∠GAD,

∴△AEB≌△AGD(SAS),

∴BE=DG.

(2)当∠EAG=∠BAD时,BE=DG.

理由如下：

∵∠EAG=∠B