第十五届全国大学生数学竞赛决赛数学类高年级组试卷参考答案.docxVIP

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第十五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

(数学类高年级组，2024年4月)

考试形式：闭卷考试时间：180分钟满分：100分

题号

一

二

三

四

总分

满分

20

10

14

20

12

12

12

100

得分

-

--

注意：

密封线答题时不要超过此线○1.第一至第四大题是必答题，再从第五至第十大题中任选3题，题号要填入上面的表中(多选无效).

密封线答题时不要超过此线

○

2.所有答题都须写在标准答题纸上，写在本试卷或其它纸上均无效.

一、(本题20分，每小题5分)填空题

1.将24阶实对称矩阵按合同关系进行分类，即两个24阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们相互合同，则共有325类.

2.设f(x)=e-2,则极限

——4.

——

4.微分方程xy+y=cosx定义在(-α,+α)上的全局解为

1

2

二、(本题10分)在空间直角坐标系中，设椭球S的方程为

x2+2y2+3z2=4.

过动点P=(x,y,z)存在三条互相垂直的射线与椭球S相切，求动点P满足的方程.

解答.设P=(x,y,z),过P有三条互相垂直的射线与椭球S相切.又设这三条射线的单位方向向量为

e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3).

则

是一个3阶正交矩阵..........................................(3分)

P+te;=(x+Ajit,y+Aj?t,z+Aj?t),t∈R,j=1,2,3

与椭球S仅交于一点，即t的二次方程

(x+A;1t)2+2(y+Aj?t)2+3(z+Aj?t)2=4

有重根，也就是方程零距离(A2?+2A?2+3A3)t2A2(aAA42yAj?+3zA,3)t4(x2+2y2+3z2-4)=0

的判别式

△=4[(xAji+2yA;2+3zAjs)2-(A21+2A?2+3A}?)(x2+2y2+3z2-4)]=0.

…..…...…….....…..............……...(6分)

由此得到三个方程

A}?x2+4A}?y2+9A}?z2+4A;Aj?xy+6A;?A;3xz+12Aj?A;syz

-(A?1+2A?2+3A33)(x2+2y2+3z2-4)=0,j=1,2,3.

因为矩阵A为正交矩阵，三个列向量为单位向量，并相互垂直.将三个方程相加得到

x2+4y2+9z2-6(x2+2y2+3z2-4)=0.

于是P=(x,y,z)点满足方程

5x2+8y2+9z2=24.

…....................................................(10分)

竞赛零距离

--CompetitionZeroDistance--

:所在院校考场号：座位

:

所在院校考场号：座位号:专业:

密封线答题时不要超过此线

○-

-

姓

姓名:准考证号:1

3

4

三、(本题14分)设A∈Rn×n,E为单位矩阵.求证A?=E当且仅当rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n.

证明.考虑多项式p=1-x,q=1+x+x2+x3.则有：(p,q)=1.故存在f(x),g(x)

使得

f(x)(1-x)+g(x)(1+x+x2+x3)=1.

结果

f(A)(E-A)+g(A)(E+A+A2+A3)=E.

..........................…..................................(5分)由初等变换可得：

→

→

故可经分块初等变换化为从而

rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n+rank(A?-E).

故得：istance-—

A?=