第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题及参考答案（数学B类）.docxVIP

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第十四届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

(数学B类，2022年)

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

15

15

15

20

15

20

100

得分

注意：

1.所有答题都须写在标准答题纸上，写在本试卷或其它纸上均无效.

2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.

密封线答题时不要超过此线

密封线答题时不要超过此线

得分评阅人一、(本题15分)空间直角坐标系中两平面

得分

评阅人

z-3=0和x-2y-z+2=0的交线为L.求过点(1,2,3)

并与直线L垂直的平面方程.

解答.两平面的法向量分别为

(1,1,1),(1,-2,-1).

它们的交线L的直线方向v垂直于这两个平面的法向量，故

v=(1,1,1)×(1,-2,-1)=(1,2,-3).

..................................................(5分)

向量v也是所求的与L垂直的平面的法向量.于是，所求平面方程为

姓名:准考证号:(x-1)+2(y-2)-3(z-3)=0,

姓名:准考证号:

x+2y-3z+4=0.

….………...…....................………(15分)

---

---○

1

2

二、(本题15分)设证得分评阅人

二、(本题15分)设证

得分

评阅人

解答.对于n≥1,记An=2-a,Bn=02-b则.从而

{An},{B}有界，记·

………………

(4分)

由Stolz公式或利用定积分，我们有

………....

………

另一方面，对于n≥2,有

由Stolz公式，

因此，

……………………

(8分)

(12分)

(15分)

3

姓名:准考证号:所在院校:

姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:

,矩阵B与A可三、(本题15分)设得分

,矩阵B与A可

三、(本题15分)设

得分

评阅人

证明.令

由于B与A可交换，可得c=b,d=a-b.B的元素均为正整数，故a,b为正整数且ab.再由detB=1得到a2-ab-b2=1.

…....................….…................................(5分)

-○密封线答题时不要超过此线○若b=1,则由a2-ab-b2=1易得a=2,

-○密封线答题时不要超过此线○

若b1,考察矩阵

令a?=a-b,b?=2b-a,则有2a-3b=a?-b?,即

显然a?为正整数.注意到a2-ab-b2=1,若a≥2b,则有1+b2=a2-

ab=a(a-b)≥2b2,即b2≤1,矛盾，由此得到b?=2b-a也是正整数.显然a2-a?b?-b2=detB?=(detA)-1detB=1,即a?(a?-b?)=1+b20,从而a?b?.这表明矩阵B?中的元素a?,b?满足矩阵B中元素a,b所满足的条

件，但是b?=b-(a-b)b.若b?1,则类似地矩阵

中的元素a?,b?也满足矩阵B中元素a,b所满足的条件，但是b?b?b.继续进行下去，通过左乘A-1有限次，比如s次后可以使得得到的矩阵

4

中的元素as,bs满足asbs0,a2-a?b?-b2=1且b?为最小正整数，即bs=1

………………………(12分)

由前面的证明得到B?=