第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题及参考答案（数学A类）.docxVIP

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第十四届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案

(数学A类，2022年)

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分

题号

一

二

三

四

五

六

总分

满分

15

15

15

20

15

20

100

得分

注意：

1.所有答题都须写在标准答题纸上，写在本试卷或其它纸上均无效.

2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.

密封线答题时不要超过此线

密封线答题时不要超过此线

得分评阅人一、(本题15分)在空间直角坐标系中已知单叶双曲面S的方程为x2+g2-z2=1.求过P=(1,1,1)点落在单叶双曲面S

得分

评阅人

解答.设过P点直线的方向向量(单位向量)为

(1)v=(a,b,c),a2+b2+c2=1,c0,

则直线的参数方程为

(x,y,z)=(1,1,1)+(a,b,c)t,t∈R.

设它整体落在单叶双曲面S上，代入S的方程，得到

(1+at)2+(1+bt)2-(1+ct)2=1,t∈R.

2(a+b-c)t+(a2+b2-c2)t2=0,t∈R.

(5分)

于是得到

(2)a+b-c=0,a2+b2-c2=0.

1

2

由方程(1)和(2)得到

由此求得两个直线方向

得到两条过P且落在单叶双曲面S上的直线

(x,y,z)=(1,1,1)+vit,(x,y,z)=(1,1,1)+v2t.这两条直线的夹角θ满足

故两直线夹角为60°(或120°,跟直线定向有关).

..

…...(15分)

3

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证

二、(本题15分)设

kb存在并求其值.

明极限

得分

评阅人

解答.对于n≥1,记An=n2-a,Bn=n2-b.则limAn=limBn=0.从而

{An},{Bn}有界.记

(4分)

由Stolz公式或利用定积分，我们有

--密封线答题时不要超过此线○

--密封线答题时不要超过此线○

………….…......(8分)

另一方面，对于n≥2,有

(12分)……………

(12分)

由Stolz公式，

因此，

-O--………(15分)

-O--

…

…

4

得分

评阅人

证明.令

,矩阵B

,矩阵B与A可

交换，其元素均为正整数且行列式为1.证明存在正整数k使得B=A*.

由于B与A可交换，可得c=b,d=a-b.B的元素均为正整数，故a,b为正整数且ab.再由detB=1得到a2-ab-b2=1.

………

………………....

…

……

(5分)

若b=1,则由a2-ab-b2=1易得a=2,因此

若b1,考察矩阵

令a?=a-b,b?=2b-a,则有2a-3b=a?-b?,即

显然a?为正整数.注意到a2-ab-b2=1,若a≥2b,则有1+b2=a2-

ab=a(a-b)≥2b2,即b2≤1,矛盾，由此得到b?=2b-a也是正整数.显

然a2-a?b?-b2=detB?=(detA)-1detB=1,即a?(a?-b?)=1+bi0,从

而a?b?.这表明矩阵B?中的元素a?,b?满足矩阵