理论力学牛顿动力学方程.pptxVIP

理论力学何国兴东华大学应用物理系

第一章牛顿动力学方程§1.1经典力学基础——《原理》牛顿三大定律§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律矢量表达式F=dP/dt=d(mv)/dt若m为常数，F=mdv/dt=ma1、直角坐标系Fx=mdvx/dt=maxFy=mdvy/dt=mayFz=mdvz/dt=maz

例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为m的碎片以水平方向的初速vo抛出，已知空气阻力与速度成正比，即f=-kv（k为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。解：牛顿第二定律：mg+f=mg-kv=mdv/dt建立坐标系：x轴——vo方向;y轴——垂直向下方向。初始条件：t=0，xo=0，yo=0，zo=0；vxo=vo，vyo=0，vzo=0;运动微分方程：-kvx=mdvx/dtmg-kvy=mdvy/dt0=mdvz/dt

运动微分方程：-kvx=mdvx/dtmg-kvy=mdvy/dt0=mdvz/dtx方向：dvx/vx=-(k/m)dt→vx=voe-kt/my方向：-kdvy/(mg-kvy)=-(k/m)dt→vy=(mg/k)(1-e-kt/m)z方向：dvz=0→vz=vzo=0vx=voe-kt/mvy=(mg/k)(1-e-kt/m)vz=0

vx=voe-kt/m，vy=(mg/k)(1-e-kt/m)，vz=0→x-xo=∫otvoe-kt/mdt=(mvo/g)(1-e-kt/m)→y-yo=∫ot(mg/k)(1-e-kt/m)dt=mgt/k-m2g/k2(1-e-kt/m)→z-zo=∫ot0dt=0运动方程:x=(mvo/g)(1-e-kt/m)y=mgt/k-m2g/k2(1-e-kt/m)z=0→kt/m=-ln(1-kx/mvo)轨迹方程:y=-gln(1-kx/mvo)-mgx/kvoz=0

§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2、平面极坐标系(r,φ)与直角坐标系关系:(1)(x,y)→(r,φ)x=rcosφy=rsinφvx=vrcosφ-vφsinφvy=vrsinφ+vφcosφrvφoxyroφ

1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式(vx,vy)→(vr,vφ)(ax,ay)→(ar,aφ)2、平面极坐标系(r,φ)

1x=rsin?cos?y=rsin?sin?z=rcos?已知球坐标系与直角坐标系关系:速度分量（vr，v?，vφ）；加速度分量（ar，a?，aφ）。推导球坐标系（r，?，φ）中的2作业

yxzq1q2q3e1e2e3o3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式

x=x(q1,q2,q3),y=y(q1,q2,q3),z=z(q1,q2,q3)

例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。

球坐标系（作业）

CBLAOxyrdωθ例：细杆