中考数学几何模型决胜88招模型75 轨迹圆之四点共圆模型.docx

模型75轨迹圆之四点共圆模型

跟踪练习

1.锐角三角形ABC的三条高AD，BE,CF交于点H,在A,B,C,D，E，F，H七个点中，能组成四点共圆的组数是()

A.4B.5C.6D.7

2.如图,AB=AD=6,∠A=60°,点C在∠DAB内部且∠C=120°,则CB+CD的最大值为()

A.43B.8C.10

3.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论:①AG=CE;②AG⊥CE;③点G,D,H,E四点共圆;④DH平分∠ADE;(⑤AC

A.①②③B.①②④

C.①③④D.①②③⑤

4.【问题情境】如图1，在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°.求证:A,B,C,D四点共圆.

小吉同学的作法如下：连接AC，取AC的中点O,连接OB,OD,请你帮助小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图2，在正方形ABCD中,AB=2,点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点,连接AE,AF,作EP⊥AF于点P.

(1)如图2，当点P恰好落在正方形ABCD的对角线BD上时，线段AP的长度为；

(2)如图3,过点P分别作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,连接MN,则MN的最小值为.

5.综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A，C重合),连接AE,CE,则∠AEC+∠D=180°(依据1).

∵∠B=∠D,

∴∠AEC+∠B=180°,

∴A，B，C，E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)，∴点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上(依据2),

∴A,B,C,D四点在同一个圆上.反思归纳：

(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?

依据1:;

依据2:.

(2)如图3,在四边形ABCD中,∠1=∠2,∠3=45°,则∠4的度数为.

拓展探究：

(3)如图4,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D在BC上(不与BC的中点重合)，连接AD.作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,DE.①求证:A,D,B,E四点共圆;②若AB=22

1.C解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形,四点共圆(A,F,H,E);以BH为斜边的两个直角三角形，四点共圆(B,F,H,D);以CH为斜边的两个直角三角形,四点共圆(C,D,H,E);以AB为斜边的两个直角三角形，四点共圆(A,E,D,B);以BC为斜边的两个直角三角形,四点共圆(B,F,E,C);以AC为斜边的两个直角三角形，四点共圆(A,F,D,C),共6组.故选C.

2.A解析:如图,连接AC,BD,在AC上取点M使DM=DC,∠DCB=120°,∴∠DAB+∠DCB=180°,∴A,B,C,D四点共圆,∵AD=AB,∠DAB=60°,∴△ADB是等边三角形,∴∠ABD=∠ACD=60°,∵DM=DC,∴△DMC是等边三角形,∴∠ADB=∠MDC=60°,∴∠ADM=∠BDC,又∵AD=BD,DM=DC,∴△ADM≌△BDC,∴AM=BC,∴AC=AM+MC=BC+CD,∴当AC最大时,CB+CD最大,此时点C在BD的中点处，∴∠CAB=30°,∴AC的最大值为ABcos30°=4

3.D解析:如图,在△ADG和△CDE中,AD=CD,∠ADG=∠CDE,DG=DE,∴△ADG≌△CDE,∴AG=CE.∴∠DAG=∠DCE,连接AC,∵∠DAG+∠CAG+∠ACD=90°,∴∠DCE+∠CAG+∠ACD=90°,∴∠AHC=180°(∠DCE+∠CAG+∠ACD)=90°,∴AG⊥CE.

又∠GDE=90°,∴点G,