中考数学几何模型决胜88招模型38 二倍角模型.docx

模型38二倍角模型

跟踪练习

1.问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

(1)当∠BAC=90°时,根据问题中的条件补全下图；

观察图形，AB与AC的数量关系为;当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为;可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；

(2)当∠BAC90°时,请你画出图形,探究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

2.如图,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A，B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x轴，y轴交于点C，D,其中k0.

(1)求A，B两点的横坐标.

(2)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC.若存在,求出k的值；若不存在，请说明理由.

3.如图，抛物线y=x

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=?12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标.

1.解析：(1)补全图形如下图：

相等15°13

①当∠BAC=90°时,∵∠BAC=2∠ACB,∴∠ACB=45°.

在△ABC中,.∠ABC=180

∴AB=AC(等角对等边).

②当∠DAC=15°时,.∠DAB=9

∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD=75°,

∴∠DBA=18

∴∠DBC=4

∴∠DBC的度数为15°.

③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,

∴∠DBC:∠ABC=1:3,

∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1

(2)猜想:∠DBC与∠ABC度数的比值与(1)中结论相同.

证明:如图,作∠KCA=∠BAC,过点B作BK∥AC交CK于点K,连接DK.

易知四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB.

∵DC=DA,∴∠DCA=∠DAC.

∵∠KCA=∠BAC,∴∠KCD=∠3,

∴△KCD≌△BAD(SAS),

∴∠2=∠4,KD=BD,

∴KD=BD=BA=KC.

∵BK∥AC,∴∠ACB=∠6.

∵∠BAC=2∠ACB,且∠KCA=∠BAC,

∴∠5=∠ACB,∴∠5=∠6,∴KC=KB,

∴KD=BD=KB,∴∠KBD=60°.

∵∠ACB=∠6=6

∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1.

∵∠6+∠1+∠2+∠BAC=180°,

∴∠1+6

∴∠2=2∠1,

∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1

2.解析:(1)令kx?1

故点A的横坐标为1，点B的横坐标为2.

(2)存在，k的值为?3或?4?73.

∵y=kx-k+2的图象分别与x轴,y轴交于点C,D,

∴C1?

∴CD=

∴OM=OD+DM=OD+DC=k

∴tan∠OMC=

由(1)知A点坐标为(1,2),B点坐标为(2,k+2).易知E点坐标为(1,0),

∴tan

又∵∠OMC=∠BEC,∴tan∠OMC=tan∠BEC,即k

当--2k0时,则k2+1+k=k+2,解得

当k≤-2时,则k

解得k3

综上所述，k的值为?3或

3.解析:(1)将点A(1,0),C(0,-3)代入y=

得{1+b+c=0,c=?3,解得

故抛物线的解析式为y=

(2)如图，作点A关于y轴的对称点A，连接AC,过点A作AD⊥AC于点D,则∠ACA=2∠ACO.

∵点A(1,0),点C(0,-3),

∴点A(-1,0),

∴AA=2,OC=3,AO=1,

∴

S

∴AD=

在Rt△AAD中,AD=

∴

又∵∠PAB=2∠ACO,∠ACA=2∠ACO,

∴∠PAB=∠ACA,∴tan∠PAB=3

将角的正切值转化为直线的斜率，∴分两种情况：k

当点P在x轴下方时，即如图点P?处，kPA=34,∴直线PA的解析式为

解得x

故点P的坐标为?

当点P在x轴上方时，即如图点P?处，kPM=?34,∴直线PA的解析式为y=?3

故点P的坐标为?

综上，点P的坐标为?94?

4.解析:(1)∵直线y=?12x+2与x轴交于点A，与y轴交于B，∴