2024-2025学年河南省洛阳市孟津县第二高级中学高三3月统考数学试题含解析.docVIP

2024-2025学年河南省洛阳市孟津县第二高级中学高三3月统考数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）

A． B． C． D．

2．函数的部分图象如图所示，则（）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

A． B． C． D．

4．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）

A． B． C． D．

5．已知集合，若，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（）

A． B．

C． D．

7．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

8．下列四个图象可能是函数图象的是（）

A． B． C． D．

9．已知集合，集合，若，则（）

A． B． C． D．

10．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）

A． B． C． D．

11．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（）

A． B． C． D．

12．在中，，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.

14．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．

15．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．

16．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数．

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；

（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．

18．（12分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

19．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足（2，2）

（1）求抛物线Γ的方程；

（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

20．（12分）已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

21．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.

22．（10分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．

（1）求；

（2）若，，求，．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．

【详解】

3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．

故选：D.

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．

2．A

【解析】

根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．

【详解】

由图象得,令=0,即=kπ，

k=0时解得x=2，

令=1,即，解得x=3，

∴A(2,0),B(3,1)，

∴，

∴.

故选：A.

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综