山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷.docx

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山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则为（????）

A． B． C． D．

2．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（????）

A．5 B． C． D．

3．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）

A． B．

C． D．

4．已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（????）

A． B．

C． D．

5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

6．已知椭圆的左?右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

7．已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知中，为边上的一点，为上的一点，且则有（）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本（单位：万元）和企业利润（单位：万元）的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则（????）

A．若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元

B．1月到8月企业的月平均利润约为115万元

C．数据对应的残差为

D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小

10．我校举办清明诗会，在抽奖环节中，抽奖箱中放有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片，甲，乙，丙三人每人抽一张，抽后不放回.抽奖规则如下：若抽到写有“我”或“是”字的卡片则不中奖，若抽到写有“中”字的卡片，则该同学中一等奖；若抽到写有“国”或“人”字的卡片，则抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币国徽一面朝上，则该同学中二等奖，否则不中奖.则下面说法正确的是（????）

A．每位同学中一等奖的概率为

B．甲同学中二等奖的概率为

C．已知甲同学中奖，则其中一等奖的概率为

D．三位同学都中奖的概率为

11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（）

A．若，则的轨迹长度为

B．与所成角的最大值为

C．若三棱锥的体积为定值，则

D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是

三、填空题

12．已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为.

13．若函数与直线相切，则实数的值为.

14．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则；所有的和等于.

四、解答题

15．记的内角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若，求外接圆面积的最小值.

16．已知正项数列的前项和为，，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

17．已知双曲线，左?右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.

(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；

(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.

18．某学校有甲、乙两个图书馆.假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆.若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为，已知的分布列如下：（其中）

0

1

2

3

(1)记事件表示王同学在这三天内去图书馆借阅次，事件表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数.当时，试根据全概率公式求的值；

(2)是否存在实数，使得，若存在，求的值：若不存在，请说明理由；

19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.

(1)当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式；

(2)（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求；

（ii）证明：.

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