高等数学 教案：函数展开成幂级数.PPT

函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数

一、泰勒级数求幂级数的和函数得存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?

定理1定义

证

证毕

定理2

证逐项求导任意次,得泰勒系数是唯一的,

可见问题:泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.

定理2证

二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)第一步第二步

第三步第四步

例1解

如图，

例2解

例3解

两边积分得

即牛顿二项式展开式注意:

双阶乘

2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式.例如

例4解因为

例5解

例6解

例7解

例8解

例9解

例10解

例11解因为

所以

例12解因为

所以

例13解

例14解

例15证