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函数展开成幂级数

一泰勒(Taylor)级数二函数展开成幂级数的方法1直接法3间接法1泰勒级数的定义２常用麦克劳林级数2泰勒级数及其展开条件三幂级数的应用举例

一泰勒(Taylor)级数定理1如果函数在内具有任意阶导数且在内能展开成的幂级数.即:则其系数为:且展开式是唯一的.1泰勒级数的定义

以为系数的幂级数称为

时,得:

2泰勒级数及其展开条件的泰勒级数.内可展开成点在则,恒有,对上有定义,定理3设在内在收敛于定理2内在点的泰勒级数,在

在什么条件下函数可以展成幂级数——Taylor级数的问题.即：何时＝此两定理从理论上解决了：

且级数容易作出，为研究函数提供了一种新方法.2通常它可以以任意精度逼近它所表示的函数，从而为近似计算提供了极大的方便.研究泰勒级数——这种特殊的幂级数，至少有两大用处：１它具有类似多项式一样的良好分析性质,

二函数展开成幂级数的方法1）直接法(泰勒级数法);有两种方法:2）利用公式间接展开法.1直接法步骤:

例1解

２几个常用麦克劳林级数

收敛情况：

3间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如

例2求的幂级数展开式解利用幂级数在收敛区间上逐项可积的性质,

由于右端在为收敛的交错级数,故展开级数的收敛域为:,即特别地

例3解所以

例4解所以

例5解

例6某人要在银行存一笔钱,希望在第年末提出元,并且要永远按此规律提取，问事先应存入多少本金？解设本金为,年利率为,则第年末的本利和为：三幂级数的应用举例

根据此人希望，在第n年末他要提取也就是说，为了在第n年末能提取如果此种提款方式永远继续下去,则他事先存入的本金数目应该为:元,必须在第n年初本金达到:

请注意，这种存款和付款方式必须以级数收敛为先决条件.如年利率为10%，算出应先存入2130元本金.