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2025年中考数学二轮复习-专题16二次函数与特殊几何图形【课件】.pptx

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专题十六二次函数与特殊几何图形

类型一二次函数与特殊三角形?

(1)如图①,在直线l上确定一点P,使得以A,B,P为顶点的

三角形是等腰三角形→分别以A,B为圆心,AB的长为半径作圆与直

线l交于点P+作AB的垂直平分线与直线l交于点P→简记为“两圆一

垂线”.

(2)如图②,在直线l上确定一点P,使得以A,B,P为顶点的

三角形是直角三角形→分别过A,B作AB的垂线交直线l于点P+作以

AB为直径的圆交直线l于点P→简记为“一圆两垂线”.

1.[2024·遂宁改编]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与

x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,C两点关于抛物线的对称轴对称,Q为抛物线上一点.

(1)求二次函数的解析式;解:(1)二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2)若△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形,求点Q的坐标.

?

2.如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两

点,与y轴交于点C,连接AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点

M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.

(1)求抛物线的解析式.?

(2)过点P作PN⊥BC,垂足为N.设点M的坐标为(m,0),请用

含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值.最

大值是多少?

?

(3)点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为

顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存

在,请说明理由.

(3)∵点A(-3,0),C(0,4),∴AC=5.设

点Q(m,-m+4).①当AC=CQ时,如图,过点Q作QE⊥y轴于点E,则CQ2=EQ2+

CE2,即m2+[4-(-m+4)]2=52,?②当AC=AQ时,AQ=AC=5.在Rt△AMQ中,[m-(-3)]2+(-

m+4)2=52,解得m=1或0(舍去),∴Q(1,3).

?

3.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴

交于点C,其中B(1,0),C(0,3).(1)求二次函数的解析式;解:(1)二次函数的解析式为y=x2-4x+3.

(2)Q是对称轴l上一点,且点Q纵坐标为m,当△QAC是锐角三角形

时,求m的取值范围.

解:(2)如图,过点C作CE⊥AC交对称轴于点E,过点A作AF⊥AC交对称轴于点F,作以AC为直径的圆交对称轴于M,N两点,则△AEC,

△AMC,△ANC,△AFC是直角三角形.∵△QAC是锐角三角形,∴点Q应在线段EM,NF上(端点除外).设直线x=2上的动点坐标为(2,m).∵A(3,0),C(0,3),∴AC2=18.

①当∠ACE=90°时,AC2+CE2=AE2,∴18+(m-3)2+(2-0)2=m2+(2-3)2,解得m=5,∴E

(2,5).②当∠CAF=90°时,AC2+AF2=CF2,∴18+m2+(2-3)2=(m-3)2+(2-0)2,解得m=-1,∴F

(2,-1).

③当动点(2,m)在圆上时,(m-3)2+(2-0)2+m2+(2-3)2

=18,即m2-3m-2=0,?

类型二二次函数与特殊四边形在解决抛物线与平行四边形、矩形、菱形、正方形相结合的问题

时,关键要结合点的平移规律描述点的坐标+线段中点坐标公式+特

殊平行四边形的几何特征→建立特殊点的坐标参量方程组→确定特殊

点坐标,同时,要注意分类讨论.

(1)如图①,“三定点(A,B,C)+一动点(D)”→利用

点的平移规律描述动点D坐标.

?

(3)若遇到矩形、菱形、正方形时,在(2)的坐标参量方程组

中,再附加一个矩形(对角线相等)、菱形(一组邻边相等)、正方

形(一组邻边相等+对角线相等)的特性建立坐标参量方程.

1.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两

点,并交x轴于另一点B,M是抛物线的顶点,直线AM与y轴交于点

D.(1)求抛物线的解析式.解:(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)若P是抛物线上一动点,则在对称轴上是否存在点Q,使得以

D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所

有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(2)易得对称轴为直线x=1,M(1,4),D(0,2).设Q

(1,n),P(m,-m2+2m+3).?

?

?

2.如图,抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点

A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC.(1)求抛物线的解析式.解:(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)已知E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使

以点B,C,E,F为顶点四边形为矩形?若存在,

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