《高等数学》教案 第16课 曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘.pdf

课题曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘

课时4课时（180min）

知识技能目标：

（1）熟练掌握曲线凹凸性的判别方法

（2）理解拐点的定义，掌握求解拐点的方法

（3）绘制某些简单函数的图形（包括水平和铅直渐进线）

教学目标

素质目标：

（1）培养学生联系的、辩证统一的思想

（2）培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探

索的思维品质

教学重点：判断曲线的凹凸性及拐点的求解

教学重难点

教学难点：判断曲线的凹凸性、绘制某些简单函数的图形

教学方法讲解法、问答法、讨论法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程主要教学内容及步骤

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内

课前任务容

【学生】完成课前任务

考勤【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

【教师】提出问题：

问题导入如何求曲线的凹凸性及拐点？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解曲线的凹凸性和拐点，以及函数图像描绘的相关知

识

一、曲线的凹凸性与拐点

传授新知1．曲线凹凸性的定义及其判定

【教师】提出凹凸性的定义及判定方法

首先观察图3-9所示的两条曲线．

1

图3-9

如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它

在任何点处的切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：

定义1设yf(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，若曲线yf(x)上每一点处的

切线都在它的下方，（图3-10（a）），那么称曲线yf(x)在[a，b]上是凹的，区间[a，b]叫做曲线yf(x)

的凹区间；如果曲线yf(x)上每一点处的切线都在它上方（图3-10（b）），那么称曲线yf(x)在[a，b]

上是凸的，区间[a，b]叫做曲线yf(x)的凸区间．

（a）（b）

图3-10

由图3-10可看出，对于凹的曲线弧，其上任意点的切线的斜率随着x的增大而增大，即f(x)是单调增

加的，从而在(a,b)内，f(x)0；对于凸的曲线弧，其上各点的切线的斜率随着x的增加而减小，即f(x)

在(a,b)内饰单调减少的，因而在(a，b)内，f(x)0．由此可见，曲线yf(x)的凹凸性与二阶导数f(x)

的符号有关．

定理1（曲线凹凸性的判定定理）设f(x)在[a，b]上连续，在