中考数学几何模型决胜88招模型72 等腰直角三角形存在性之八线六点模型.docx

模型72等腰直角三角形存在性之八线六点模型

跟踪练习

1.如图,∠AOB=30°,点M,N在射线OA上(都不与点O重合)，且MN=3,点P在射线OB上,若△MPN为等腰直角三角形，则OP的长为.

2.已知抛物线L1

(1)求抛物线L?的表达式；

(2)平移抛物线L?得到新抛物线L?，使得新抛物线L?经过原点O，且与x轴的正半轴交于点C，记新抛物线L?的顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形，求出点P的坐标.

3.如图1,已知抛物线L:y=x

(1)求抛物线L的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当△OPE的面积最大时，求出点P坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得到抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；

(4)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

模型72等腰直角三角形存在性之八线六点模型

跟踪练习

1.6或3

思路探寻

分三种情况讨论：①如图1，当∠MNP=90°,PN=MN=3时;②如图2,当∠NPM=90°,PM=PN时;③如图3,当∠NMP=90°,PM=MN=3时.

解析：若△MPN为等腰直角三角形，则分三种情况讨论：

①如图1,当∠MNP=90°,PN=MN=3时,∵∠AOB=30°,∴OP=2PN=6.

②如图2,当∠NPM=90°,PM=PN时,过点P作PH⊥MN于点H,则PH=1

③如图3,当∠NMP=90°,PM=MN=3时,∵∠AOB=30°,∴OP=2PM=6.

综上所述，OP的长为6或3.

2.解析:(1)把A(-5,0),B(-1,0)分别代入y=?

得{?25?5b+c=0,?1?b+c=0,解得

∴抛物线L?的表达式为y=?

(2)如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,

∵将抛物线L?平移得到新抛物线L?，

∴两抛物线形状相同.

设新抛物线L?的顶点为P(h，k)，则新抛物线L?的表达式为y=?

∵△OCP是等腰直角三角形,PQ⊥x轴,

∴PQ=OQ,即|h|=|k|,

又新抛物线L?经过原点O，

∴0=?0??2+k,

∴∣?∣=?

当h=0时，新抛物线L?的顶点是原点，O,C,P重合,不能构成△OCP,故舍去.

当h=1时,k=1,此时P(1,1).

当h=-1时,k=1,此时P(-1,1).

∴当△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为(1,1)或(-1,1).

3.解析:(1)∵抛物线L:y=x

∴{1+b+c=0,c=3,解得

∴抛物线L的解析式为y=

(2)如图1,过点P作PG∥y轴,交OE于点G，

设P

∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,

∴∠AOB=45°,

∴△∠AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3,∴E(3,3),

∴直线OE的解析式为y=x，

∴G(m,m),

∴PG=m?

∴

=

=

=?

=?

∵?

∴当m=52时，△OPE的面积最大，此时点P坐标为

(3)如图2,由.y=x

得抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为(2,-1+h).

设直线x=2交OE于点M,交AE于点N,

∵直线OE的解析式为y=x，

∴M(2,2),

∵平移后抛物线的顶点在△OAE内(包括△OAE的边界),

∴2≤-1+h≤3,解得3≤h≤4.

(4)存在.点P的坐标是

5?521?

亘3+521?

提示：方法一：设P(m,m2-4m+3),分四种情况：

①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3,过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交l于N,

∴∠OMP=∠PNF=90°,

∵△OPF是等腰直角三角形，

∴OP=PF,∠OPF=90°,

∴∠OPM+∠NPF=∠PFN+∠NPF=90°,

∴∠OPM=∠PFN,

∴△OMP≌△PNF,∴OM=PN,

∵Pmm2?4m+3,∴?m2+4m?3=2?m,解得

②如图3，当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，

同理得，2?m=

解得m=3+52

∴点P的坐标为3?

③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4,过P作MN⊥x轴于M,过F作FN⊥MN于N,

同理得△OMP≌△PNF,

∴PN=OM,∴?

解得m=3+52或

∴点P的坐标为3+

④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，同理得m

解得m=5+52或m=5?52(舍),∴点P