《信号与系统》课件_第3章连续信号与系统的频域分析.pptxVIP

第3章连续信号与系统的频域分析

3.1周期信号的傅里叶级数

3.2周期信号的频谱

3.3非周期信号的傅里叶变换

3.4典型信号的傅立叶变换

3.5傅里叶变换的性质

3.6卷积定理

3.7周期信号的傅里叶变换

3.8连续系统的频域分析和响应

3.9已调信号的频谱

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信号与系统的时域分析方法，其突出特点直观、物理概念明确。然而，对于某些信号在时域特征并不明显、很难分析，此时需要采用数学变换的手段，这就是所谓的变换域分析。

长期以来，在各种信号处理方面，特别是在有关信号的频谱分析和各种滤波方法中，最基本的数学工具就是著名的傅立叶(Fourier)分析。所谓傅立叶分析，从数学角度就是对一个函数进行傅立叶变换，而从信号处理的角度，则是对信号的频谱进行分析。

傅立叶分析主要有以下优越性：

(1)傅立叶分析的基函数是一组正交基，而且函数形式非常简单。其变换函数是信号在这组正交基上的分量，的大小在内完全刻画了的特征；

(2)有着明确和极其重要的物理意义，即信号的频谱。这样对信号而言，许多在时域不能解决的问题，通过频域可以迎刃而解；

(3)由于傅立叶变换以为基函数，因此它把时域的微、积分运算在频域表现为乘、除运算，这给傅立叶分析的应用带来了极大方便；

(4)傅立叶分析具有快速算法-FFT(FastFourierTransform),这对实际应用具有非常重要的作用。反过来，FFT的发展又促进了信号处理对傅立叶分析需求的进一步研究。

本章讨论信号与系统的频域分析，主要包括9节内容。

第1节和第2节是周期信号的频谱分析，主要目的是通过周期函数的傅立叶级数展开建立信号的频谱概念，并通过典型周期信号的频谱分析得出周期信号频谱的普遍规律和共同特点。

第3节~第6节是非周期信号的频谱分析，首先通过对周期函数的周期取极限定义非周期函数的傅立叶变换，进而引入非周期信号的频谱密度概念；其次，为了进行复杂信号的频谱分析(实际这里是频谱密度分析，通常也称为频谱分

析),介绍典型信号的傅立叶变换，进一步巩固复杂信号可分解成典型信号进行分析的理念；最后，为了进一步了解信号的时域分析和变换域分析之间的关系、也为了进一步简化计算，介绍傅立叶变换的基本性质，其中由于卷积定理是连接信号与系统时域分析和频域分析的纽带，我们把它从性质中拿出来进行单独介绍，以突显其特殊地位。

第7节是周期信号的傅立叶变换，目的是把前面介绍的周期信号和非周期信号的分析统一起来，进而也能看出二者之间分析的一致性和差异性。

第8节是在前面信号频域分析的基础上，介绍系统的频域分析方法，建立系统函数的概念，并通过系统函数求解系统响应。

第9节主要是从频谱分析应用的角度，介绍其在通信中的已调信号的频谱，目的是通过该应用例子，使前面介绍的傅立叶变换的抽象数学模型与应用中频谱的具体物理模型达到统一。

3.1周期信号的连续时间傅里叶级数

3.1.1三角形式的傅里叶级数

三角函数集{1,cos(na)t),sin(nat)}(n为正整数)是一个正交函数集，

因此在一个周期区间(to,to+T₁)内满足以下正交关系

是各个函数cos(nat),sin(not)的周期。

对于任意周期为T、角频率为、频率为的周期信号f(t),只要满足狄里赫利(Dirichlet)条件，就可以分解为三角函数集中各函数分量的线性组合的形式，即

(3.1-1)

式(3.1-1)的无穷级数称为周期信号f(t)在区间(to,to+T₁)内的三角傅立叶级数。

根据正交函数集的正交条件，可计算式中的傅立叶系数a,(n=0、1、2、…)和b,(n=1、2、…),

(3.1-2)

物理上，系数a₀、a和b,代表了信号在不同频率no,分量上的能量多少，相应的no,也代表了信号包含的

频率高低。

周期信号f(t)在区间(to,to+T)内的平均值

(3.1-3)

(3.1-4)

代表了信号的直流分量。

在数学中已经证明被展开的函数f(t)应该满足狄里赫利条件：

(1)在一个周期内，信号是绝对可积的，即

(2)在一个周期内，函数的极大值和极小值的数目应该是有限的；

(3)在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应该是有限的，而且当t从不同方向趋近间断点时，函数应该具有两个不同的有限的极限值。

任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量之和，而它

们的分解加权系数就是a₀、a和b。

当n=1时，将式(3.1-1)中的同频率两项a₁cos(a)t)+b₁sin(a)t)合并成一个频率为w的正弦分量A₁cos(@t+Ø)或A₁s