湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二下学期寒假作业检测数学试题.docxVIP

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湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二下学期寒假作业检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，，则（????）

A． B．2 C．-2 D．

3．已知，且满足，则（????）

A． B． C．2 D．1

4．已知向量，则向量在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点且，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．设，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

7．已知正数满足，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．数列满足，且其前项和为.若，则正整数（????）

A．99 B．103 C．137 D．169

二、多选题

9．已知函数,则下列结论中正确的是（????）

A．在(0,1)单调递增

B．在(1,2)单调递减

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点(0,1)对称

10．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（????）

A．若是棱的中点，则平面

B．若平面，则是的中点

C．若在棱上运动（含端点），则点到直线的距离最小值为

D．若与重合时，四面体的外接球的表面积为

11．如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（????）

A．点和均在上

B．点的纵坐标的最大值为

C．的最大值与最小值之和为3

D．

三、填空题

12．函数在上单调，则的取值范围是.

13．我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为.

14．记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则，若，则m的最小值为.

四、解答题

15．已知数列和等差数列满足，且当时，.

(1)求数列的通项；

(2)求数列的前项和.

16．在锐角中，分别是角的对边，.

(1)求角的大小；

(2)求取值范围；

(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值.

17．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．

(1)证明：平面平面；

(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

18．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.

（i）求证：为定值，并求出该定值；

（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.

19．已知函数，且在上的最小值为0.

(1)求实数的取值范围；

(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S．

（i）求证：函数在上具有性质S；

（ii）记，其中，求证：.

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《湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二下学期寒假作业检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

A

D

A

B

D

D

ABC

ACD

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.

【详解】因为，

由可得，解得，则，

因此，.

故选：D.

2．B

【分析】设复数，，根据题意得出，解出a，b的值，进而即可求解．

【详解】设复数，，

由，

得，

解得，，

∴，

∴.

故选：B．

3．A

【分析】根据诱导公式得到，然后结合角的范围和正切函数的性质得到，最后计算正切值即可.

【详解】因为，

可得，

又因为，

则，所以，整理得，

所以.

故选：A.

4．D

【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可.

【详解】由，得，由，

得，则，

因此，在上的投影向量为.

故选：D.

5．A

【分析】将代入可得，即可得，由可得的关系式，即可求得答案.

【详解】设的半焦距为c,