湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷.docx

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湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（???）

A． B． C． D．

3．已知为等差数列的前n项和，且，，则（???）

A．40 B．45 C．50 D．55

4．已知，则（???）

A． B． C． D．

5．的展开式的第4项系数是（???）

A． B．280 C． D．560

6．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（???）

A． B．4 C． D．8

7．若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（???）

A． B． C． D．

8．如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（???）

A．62 B．63 C．64 D．65

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（???）

A．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强

B．已知随机变量服从正态分布，且，则

C．数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30

D．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数

10．已知函数，则（???）

A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增

C．曲线关于直线对称 D．

11．已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（???）

A．若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分

B．点横坐标的取值范围是

C．若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则

D．对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为

三、填空题

12．已知函数是偶函数，则.

13．已知直线与圆C：交于A，B两点，且，则.

14．已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为.

四、解答题

15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.

(1)求的值；

(2)若，，求的面积.

16．某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：

等级

不及格

及格

良

优

分数

1

2

3

4

人数

3

9

5

3

(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；

(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.

（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；

（ⅱ）若，当k为何值时，最大？

17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.

(1)证明：；

(2)若直线AP与DF的夹角的余弦值为，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

18．已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.

(1)求双曲线E的标准方程：

(2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.

（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：

（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.

19．已知函数（），且有唯一零点.

(1)证明：；

(2)证明：；

(3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.

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《湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

C

A

D

C

B

BCD

ABD

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集的运算得答案.

【详解】集合，

又集合，

所以.

故选：B.

2．D

【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可.

【详解】因为，

所以，

则z在复平面内对应的点为.

故选：D.

3．B

【分析】已知，，可利用求和公式求出数列的公差d，再将所得结果代回求和公式中计算即可.

【详解】因为，所以，

则.

故选：B