广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试题

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广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期

期中数学试卷

1.、互为共轭复数，，则（）

A. B.2 C. D.

【答案】B

【解析】因为，、互为共轭复数，

∴，所以=2.

故选：B.

2.已知等差数列的前项和为，且，则（）

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】D

【解析】由题意设等差数列的首项、公差分别为，

因，所以，

从而.

故选：D.

3.将序号分别为1，2，3，4，5五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）

A6 B.24 C.60 D.120

【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：?

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，?

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，?

则有种不同的分法；?

故选:B．

4.已知，则a，b，c的大小关系为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】依题意，，

故，

故选：A.

5.在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】棱长为的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：，

所以该球的表面积.

故选：.

6.已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（）

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】向量在上的投影为，

向量在上的投影向量为.

故选：D.

7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与一条渐近线垂直，垂足为，交双曲线右支于点，，则离心率（）

A. B. C. D.2

【答案】B

【解析】设，不妨取其中一条渐近线，

由两直线垂直，斜率乘积为-1有，过的直线的方程为，

联立上述两直线可求得点M的坐标为，

因为，则，故，

由直线的方程为得N点坐标为，

因为点在双曲线上，所以，

化简得，故，故A，C，D错误.

故选：B.

8.已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意，令，得，

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

故当时，有最大值，

而，

由此可知当时，，当时，，

若函数有两个不同的零点，

结合零点存在定理可知的最大值

又，

所以，所以，

解得，

所以，即的取值范围是.

故选：B.

9.在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（）

A.

B.展开式中各项系数和为

C.第项的二项式系数最大

D.展开式中所有系数的绝对值的和为

【答案】ABD

【解析】由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；

令，得，B选项正确；

时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；

，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，

令，得，D选项正确；

故选：ABD.

10.已知函数，则（）

A.的最大值为3 B.的最小正周期为

C.的图象关于点对称 D.在上单调递增

【答案】BCD

【解析】

，

对选项A：函数的最大值为，错误；

对选项B：函数的最小正周期为，正确；

对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；

对选项D：，则，函数单调递增，正确；

故选：BCD.

11.甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；

因为，所以选项C正确；

因为，所以，因此选项D正确；

因为，所以选项B不正确，

故选：ACD

12.已知的面积为，，则=____．

【答案】

【解析】,

，解得,

所以，

∴,

∴,

故答案为：.

13.已知抛物线顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．

【答案】1

【解析】设，则,

即，

所以，由于又，

所以，因此，故关于轴对称，

由得,将代入抛物线中得所以，

故答案为：1

14.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

15.已知数列满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前n项和.

解：（1）由，可得，

又，所以，

所以数列