高等数学 教案：常系数齐次线性微分方程.ppt

常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程解法二、n阶常系数齐次线性微分方程解法

一、二阶常系数齐次线性微分方程解法定义

所以特征方程的根为特征根的三种不同情况讨论：

方程有两个线性无关的特解得齐次方程的通解为

得齐次方程的通解为

方程的两个解为得齐次方程的通解为重新组合

二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解

定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.例1解所给微分方程的特征方程为因此所求通解为

例2解所给微分方程的特征方程为因此所微分方程通解为于是所求特解为

例3解所给方程的特征方程为因此所求通解为

例4解该方程叫做无阻尼自由振动的微分方程.由牛顿第二定律得

这是简谐振动方程．函数图形为

例5解这就是要找满足有阻尼的自由振动方程

方程的通解为

令上式又可以写成因此所求特解为

函数图形为

方程的通解为

方程的通解为

解例6这是一个非线性微分方程，

定义n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为二、n阶常系数齐次线性微分方程解法n阶常系数齐次线性微分方程可记作

n阶常系数齐次线性微分方程可记作此方程为n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程．

根据特征方程的根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解

例7解对应的特征方程为因此所给微分方程的通解为注意：n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.

例8解这里的特征方程为因此所给方程的通解为

解得特征根为故所求通解为解这里的特征方程为例9整理，得

例10解