高考数学空间几何大揭秘.docVIP

三视图与组合体

【知识点回忆】

一、常见的几种几何体

1.棱柱.

⑴①直棱柱侧面积：(为底面周长，是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

②斜棱住侧面积：(是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.

{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.

⑶棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.(×)

(直棱柱不能保证底面是钜形可如图)

②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直.

⑷平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.

[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，那么.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，那么.

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形)

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行)

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形)

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.(两条边可能相交，可能不相交，假设两条边相交，那么应是充要条件)

棱锥：

棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：假设一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等)；底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：(底面周长为，斜高为)

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：(侧面与底面成的二面角为)

附：以知⊥，，为二面角.

那么①，②，③①②③得.

注：S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).

⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

⑤三棱锥有两组对棱垂直，那么顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)

ii.假设一个三角锥，两条对角线互相垂直，那么第三对角线必然垂直.

简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令

得，

那么.

iii.空间四边形OABC且四边长相等，那么顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv.假设是四边长与对角线分别相等，那么顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点，那么平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.假设对角线等，那么为正方形.

3.球：

⑴球的截面是一个圆面.

①球的外表积公式：.

②球的体积公式：.

⑵纬度、经度：

①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二