计算固体力学第三章-1.pptVIP

计算固体力学

Computeationalsolidmechanics

第三章有限元法(含协调模型分析);补充：弹性力学有关方程的矩阵表示;边界外法线方向余弦矩阵：;写成矩阵形式：;1有限元法简介;;;有限元的根本思想

把整个求解区域分成许多个有限小区域，这些小区域称之为单元。

在每个单元上构造近似位移函数，即进行所谓的分片插值。

在每一个单元上求势能。

将所有单元上的势能加起来得弹性体的总势能。

最后应用最小势能原理求解单元节点位移。;;几个关键问题;;有限元方法涉及用相互连接的，叫做有限元的小单元模拟结构,一个位移函数与每一个有关的单元相关.每个相互连接的单元通过共同(或共享)界面,包括节点,边界线外表,与其他单元连接.

通过使用构成结构的材料的应力-应变特性,可以用结构中其他单元的特性确定给定节点的特性.描述每一节点特性的整组方程得出一系列用矩阵符号最正确表示的代数方程.;在结构力学里介绍的矩阵分析法可以看成是有限元法用于杆系结构的一个特例。

有限元法无论对什么样的结构〔杆系，平面，三维，板壳〕分析过程是一样的，一般为：;有限元法根本步骤:;;选择每个单元内的位移函数.该函数是用单元的节点值在单元内部定义的.线形,二次和三次多项式是常常使用的位移函数,因为用它们建立有限元公式比较简单.;为了推导每一个有限单元的方程,需要应变位移和应力应变关系.;联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程是通过根本单元的力平衡条件和力与位移的关系的出.;得到单元方程后,通过叠加法(称为直接刚度法,其理论根底为节点力平衡)将单个单元方程加在一起得出整个结构的总体方程.;在修改考虑了边界条件后，形成一组联立代数方程组.;最后的目标是解释和分析用于应力应变分析过程的结果.

在进行设计和分析决策时,确定结构中位移最大和应力最大的位置通常是重要的.;;;有限元法根本步骤:;2有限元法的应用;;现给出有限元方法应用的一些例子。用这些例子说明可以用有限元方法求解的问题的类型，规模和复杂程度，并说明典型的离散过程和所用的单元类型。;用带圆圈的数字标出了48个单元,用不带圈的数字??示28个节点.

每个节点有三个转动分量和三个位移分量.;如图1.4,用120个节点和297个平面应变三角形单元模拟.将对称性应用于整个杆端的一半.此分析的目的是找出杆端应力集中最高的位置.;;;3协调模型分析;大局部有限单元,都是根据虚功原理,或由它导出的能量原理建立的,这类单元统称为“协调模型”或“相容模型”〔Conformingmodel)。;其中;;表示在力Fi方向施加单位位移(di=1)所引起的单元内的协调应变分布.;由应力-应变关系;例杆单元

考虑图示杆(Bar)单元，长度为l，截面积A，弹性模量E，节点为1，2。;假定真实的位移分布是坐标x的线形函数，即;;先将2端固定，在1端施加位移u1，其正方向与坐标轴一致，那么几何边界条件为：;边界〔两个端面〕1，2的外法线n1,n2的方向余弦分别为:;;;;〔2〕应变-位移函数;〔4〕总位能;假定梁(Beam)单元是能够抵抗轴力，弯矩，扭矩的等截面直杆，作用在梁元上的力系为：;〔1〕轴向刚度;〔3〕xy平面内的弯曲刚度;记为;其中;〔4〕xz平面内的弯曲刚度;〔５〕主轴坐标系内的梁单元的刚度矩阵;〔6〕节点坐标系内的力-位移关系式;例：如图，有中间支点的悬臂梁，端点受载荷P作用，假定梁的EI是常数，长度为2L，假定中点有滚轴支撑，右端为固支．;按图建立离散单元，２个单元，并建立总体坐标轴，得到总体刚度矩阵;及;;;作业1：

参照上面方法，对于图P4.3所示的梁，确定铰支点A的转动以及载荷P作用处的转动和位移．确定反作用力，画出剪力和弯矩图，令EI沿梁的长度是常数．;;;〔2〕平面应变;;对薄板采用限元法分析:;考虑从右图中取出根本的三角形单元，每个单元有节点i,j,和m。每个节点有两个自由度。这里采用逆时针方向记录节点号。;选择每一个单元的位移函数为线形函数;将节点坐标代入方程〔２〕，可以得到;将方程〔3〕的前，后三个方程分别写成矩阵形式：;A为三角形面积;可以将式〔４〕;记为;其中;包含平面应变和平面应力;其中;将广义位移和表示应变的方程都代入上面,得;;进一步考察;说明1:上式中{F}是将体积力和分布载荷堆积在适当节点上得出的等价总体节点载荷,包括集中节点载荷.

有关体积力和面积力的处理，在下节给出。;节点位移解出后,可以得到应变和应力.;为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件：;已经证明，对于完备的协调单元，起刚度系数的数值比精确的要大。这样，在给定载荷之下，计算模型的辨析功能比实际结