8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）（同步课件）-2024-2025学年高一数学（人教A版2019必修第二册）.pptxVIP

第八章立体几何初步;

理解直线与平面垂直的判定定理，并会对其进行简单的应用，培养直观想象、逻辑推理的核心素养

理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题，培养数学运算的核心素养

会求点到平面的距离，培养数学运算的核心素养.;;

观察1在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们以直线与平面垂直的形象.;

观察2如图示，在阳光下观察直立于

底面的旗杆AB及它在地面的影子BC.

随着时间的变化，影子BC的位置在不

断地变化，旗杆所在直线AB与其影子

BC所在直线是否保持垂直?

直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直.

旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直.

追问旗杆AB与地面上任意一条不过旗

杆底部B的直线的位置关系又是什么?

与地面内任意一条不过

点B的直线BD也垂直.B;

直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与

平面α互相垂直，记作l⊥a.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.;

反思：“若lLa,则直线l与平面α内任意一条直线都垂直”,对吗?

|L

lLαl⊥a

alPaCC

a

线面垂直线线垂直

线面垂直的最基本的性质。;

问题1在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

证明：

如图，若过平面α外一点可以作平面的两条垂线a,b,

则两相交直线a,b确定一个平面，设为β,

设α∩β=l,因为a⊥a,b⊥a,所以a⊥l,b⊥l,

又acβ,bcβ,所以a//b,

与a∩b=P相矛盾，所以过平面外一点作平面的垂线

有且只有一条;

点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

h=|AB|

在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离.

下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件.;

问题2怎么来判定直线与平面垂直?由定义判定直线与平面垂直，简便吗?

能否只需验证直线与平面内部分直线垂直就能判定直线与平面垂直呢?

探究准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕

AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察：

(1)折痕AD与桌面垂直吗?不一定当AD⊥BC时

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?折痕AD与桌面垂直.;

直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面;

例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知：如图，allb,a⊥a,求证：b⊥a.可作定理使用

证明：如图，在平面α内取两条相交直线m,n.

∵a⊥a,∴aLm,aLn.

又∵allb,∴b⊥m,b⊥n.

又mca,nca,且m,n是两条相交直线.

∴b⊥a.

结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直;

2.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD.

求证：AC⊥平面SDB.

证明：∵SD⊥平面ABCD,ACc平面ABCD.

∴SD⊥AC.

又∵底面ABCD是正方形，BD⊥AC,

而SDNBD=D

∴AC⊥平面SDB.;

件时，AC⊥BD?

解：连接AC,BD,当AC⊥BD时，AC⊥BD.理由如下：

∵在直四棱柱ABCD-ABCD中，AA⊥底面ABCD.BDC底面ABCD,∴AA⊥BD.

若AC⊥BD,而AANAC=A.;;;

典例分析;

例6如图，正方体ABCD-A?B?C?D?中，求：

(3)A?C?与面BB?C?C所成的角

(4)A?B与面A?DCB?所成的角

(3)45°(4)30°;

例6(4)A?B与面A?DCB?所成的角

解：连接BC?交B?C于点0,连接A?O.1.构造(作)

设正方体的棱长为a.

正方体A