2025年中考数学二轮复习-专题12与圆切线相关的计算证明【课件】.pptx

专题十二与圆切线相关的计算证明

类型一单切线问题（1）如关联图形①，PA为☉O切线→△PAB∽△PCA.（2）如关联图形②，PA为☉O切线，

CD⊥PA→△PAB∽△PCA，△POA∽△PCD，

△EAD∽△ACD∽△BCA.

??

2.[2024·凉山州]如图，☉M的圆心为M（4，0），半径为2，P为直线

y＝x＋4上一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值

为?.?

??

?

?

5.[2024·眉山改编]如图，BE是☉O的直径，点A在☉O上，点C在BE

的延长线上，AD平分∠BAE，交☉O于点D，连接DE，∠EAC＝

∠ADE.

（1）求证：CA是☉O的切线；

（1）证明：如图，连接OA.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∵∠EAC＝∠ADE＝∠ABE，∴∠BAO＝∠EAC.∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°，∴∠OAC＝∠EAC＋∠OAE＝∠BAO＋∠OAE＝90°，∴OA⊥AC，∴CA是☉O的切线.

（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长.

?

?

（1）求证：CD是☉O的切线；

?

（2）求证：EM＝EN；

（2）证明：∵OE⊥CD，∴∠OEB＋∠BEC＝90°.∵AB为直径，

∴∠EAB＋∠OBE＝90°.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠BEC＝∠EAB.又∵CM平分

∠ACD，∴∠MCA＝∠NCE，∵∠EMN＝∠MAC＋∠MCA，∠ENM＝∠NEC＋∠NCE，

∴∠EMN＝∠ENM，∴EM＝EN.

?

?

?

类型二双切线问题如图，PA，PB为☉O的两条切线，该图形经常与“等腰三角形三

线合一”“垂径定理”的结构图形关联使用.

（1）如关联图形①，PA，PB为☉O切线→△OCA∽△PCB.（2）如关联图形②，PA，PB为☉O切线→P为BC的中点，OP

为△BCD的中位线，△PAB∽△OAD.

1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，AB＝12，D为AB

的中点.若以CD上的一点O为圆心作☉O，恰好与AB，AC都相切，则

☉O的半径为?.?

2.如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，连接AO并延长，交PB

的延长线于点C.若OA＝3，OC＝5，则PB的长为?.6

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在BC上，以OC为半径

的☉O与AB相切于点E，与OB交于点D.若BD＝1，tan∠AOC＝2，

则☉O的面积是?.?

4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O在边AB上，以O为圆

心，OA长为半径的☉O交AB于另一点E，与BC相切于点D，CE交

☉O于点F.若☉O的半径为3，BD＝4，则EF的长为?.?

5.如图，CA，CD是☉O的两条切线，切点分别为A，D，AB是☉O

的切线，AB＝AC，AF⊥CD于点F，交☉O于点E.若AB＝2，求AE

的长.

解：如图，连接BE，OD，OD交BE于点G.易得四边形EFDG为矩形，OD垂直平分BE，

△ABE≌△CAF（AAS）.设AE＝CF＝x，则GE＝DF＝2－x，BE＝2GE＝4－2x.∵AB2＝AE2＋BE2，∴22＝x2＋（4－2x）2，?

?

?

?

7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为

半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OC.

（1）判断DE与☉O的位置关系，并说明理由；

解：（1）DE与☉O相切.理由如下：如图，连接OD，OE.∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE为

△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠OAD＝∠ODA＝∠DOE.又∵OD＝

OB，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，

∴OD⊥DE，∴DE与☉O相切.

?

???

类型三多切线问题（1）如关联图形①，AD，BC，CD为☉O切线→△OCD为直角

三角形，CD＝BC＋AD，△OBC∽△DOC∽△DAO.（2）如关联图形②，PA，PB，MN为☉O切线→△PMN的周长

为2PA，点O为△PMN外角平分线的交点.

1.如图，☉O与四边形ABCD的各边都相切，若AB＝13，CD＝5，

☉O的半径为4，则四边形ABCD的面积是?.72

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，☉O为

△ABC的内切圆，D，E，F为切点，DE交BC的延长线于点M，则

EM的长为?