线性代数行列式习题.pptxVIP

线性代数行列式习题课

温故而知新：行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。推论2：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行列式等于零。性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。性质4：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变.

用三角法计算1行列式的计算方法用定义直接计算用降阶法和递推法计算2熟记行列式按行（列）展开定理

技巧能否利用各列中的x，分别将其余的x都消去？能否利用主对角线的1，分别将其下方的x都消去？能否再将尽量多的1消去？已经可以按第一列展开了，但后续步骤仍难进行！分析：后续步骤很难进行！例计算

此时再按第一列展开，两个非零元素的余子式都已是简单的行列式了。

通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由递推关系式求解其值。递推法：按第一列展开

例范德蒙（Vandermonde）行列式证明思路：用递推法结合数学归纳法；祥见教材第18页。说明：范德蒙（Vandermonde）行列式的结论是个重要结论，以后可以直接运用之；高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家在练习中不断总结、积累经验。

第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否推广至四元、五元…乃至n元的线性方程组的求解？一、问题的提出：根据此模式可否推出n个未知数n个方程的线性方程组解的情形?2、由三元线性方程组所作的讨论可知,若线性方程组的系数行列式则解可表示为§7克拉默(Cramer)法则

含有n个未知量n个方程的线性方程组二、(1)系数行列式记为D（略）与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示!是D中第j列元素换成常数项所得.

【定理1.4】若线性方程组(1)的系数行列式则存在唯一解.即证明思想：用D中第j列的各元素的代数余子式依次乘方程组(1)的第1、第2、…第n个方程,再将等式两端相加、整理，有：用行列式展开法则可得到什么样的结论?即

例1解线性方程组解:按①列展开=27利用公式同理可求:

印象:克拉默法则只适用于包含n个未知量n个方程,并且系数行列式不为零的线性方程组.用克拉默法则求解线性方程组,在一般情况下,要计算n+1个n阶行列式,计算量很大.

关于齐次线性方程组的说明:当线性方程组右端的常数项不全为0时,线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组.(1)当线性方程组右端的常数项全为0时,线性方程组(2)叫做齐次线性方程组.(2)一定是(2)的解,这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解.如果一组不全为零的数是(2)的解,则这个解叫做齐次线性方程组(2)的非零解.方程组（2）一定有零解，但不一定有非零解！

【定理1.5】若齐次线性方程组(2)的系数行列式01则该齐次线性方程组(2)没有非零解，即只有零解.02如果齐次线性方程组(2)有非零解，则该齐次线性方程组的系数行列式必为零。03等价命题:

例2问为何值时，齐次线性方程组有非零解?分析:如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。由D=0不难验证：将2，5，8代入齐次线性方程组确有非零解

例3已知三次曲线通过四点其中互不相同，求该曲线的方程解:将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到关于的非齐次线性方程组。系数行列式是范德蒙行列式，根据克拉默法则，可求得三次曲线方程的系数！？

STEP3STEP2STE