中考数学几何模型决胜88招模型83 几何最值之圆与将军饮马.docx

模型83几何最值之圆与将军饮马

跟踪练习

1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1,点P,E,F分别是边CD,⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是()

A.1B.2C.2.5D.3

2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P,Q分别是BC，AB上的两个动点，AE=1,将△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是.

3.问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离.

(1)探究证明:如图1,在⊙O上任取一点C(不与点A，B重合)，连接PC,OC.求证:PAPC;

(2)直接应用:如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；

(3)构造运用：如图3，在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A?MN,连接A?B,则A?B长度的最小值为；

(4)综合应用：如图4，在平面直角坐标系中，分别以点A(-2，3)，B(4,6)为圆心,以1,2为半径作⊙A,⊙B,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为.

1.D解析：如图，作点A关于直线DC的对称点A,连接AA,延长CD交AA于点N,连接BD,DA.∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=3,∴AB=AD=CD=BC=3,∠BCD=60°,∴△ADB,△BCD是等边三角形,∴∠BDC=∠ADB=60°,∴∠ADN=180°-∠ADB-∠BDC=60°,∴∠ADN=∠ADN=60°,∴∠ADB+∠ADN+∠ADN=180°,∴A,D,B三点在一条直线上.结合题意，易知当点P与点D重合时，点E在AD上，点F在BD上时,PE+PF取得最小值.∵BD=AB=AD=3,⊙A,⊙B的半径分别为2和1,∴PE=AD-AE=1,PF=BD-BF=2,∴PE+PF的最小值是3.

2.4解析：如图，作点D关于BC的对称点D,连接PD,ED.

在Rt△EDD中,∵DE=3,DD=4,∴ED

3.解析:(1)证明:如图1,

在△OCP中,PO-OCPC,

∴(PA+OA)-OCPC,

∵OA=OC,∴PAPC.

23

在Rt△AOC中,OA=OC

∴AP=OA?OP=

33

∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.

∵∠BAM=60°,∴△ABD是等边三角形.

∵M是AD的中点,∴∠AMB=90°,

∴BM=AB?

∴

43

∴PA=PC,C(-2,-3),

∴PA+PB=PC+PB=BC,

又∵C(-2,-3),B(4,6),

∴BC=

∴PM+PN=PA+PB-AM-BN=313-1-2=3