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2025届浙江省普通高等学校高三4月月考试数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为()
A.3 B.2 C. D.1
2.已知集合,则为()
A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]
3.已知集合,则()
A. B.
C. D.
4.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为()
A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm
5.已知函数,要得到函数的图象,只需将的图象()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、、分别为侧棱,,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为()
A. B. C. D.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数,当时,,则()
A. B.2 C.3 D.
9.某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()
A.10 B.50 C.60 D.140
10.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为()
A. B. C.或 D.
11.向量,,且,则()
A. B. C. D.
12.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,则________.(填“”或“=”或“”).
14.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.
15.直线过圆的圆心,则的最小值是_____.
16.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.
附:,其中
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
18.(12分)已知函数.
(1)当时,求曲线在点的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.
19.(12分)设函数,直线与函数图象相邻两交点的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)在中,角所对的边分别是,若点是函数图象的一个对称中心,且,求面积的最大值.
20.(12分)设为等差数列的前项和,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若满足不等式的正整数恰有个,求正实数的取值范围.
21.(12分)已知函数是减函数.
(1)试确定a的值;
(2)已知数列,求证:.
22.(10分)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
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