2025年北京市西城区普通中学高中毕业生四月调研测试数学试题含解析.docVIP

2025年北京市西城区普通中学高中毕业生四月调研测试数学试题

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则为()

A． B． C． D．

2．已知集合，，则=()

A． B． C． D．

3．已知向量，且，则等于（）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

5．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

6．若变量，满足，则的最大值为（）

A．3 B．2 C． D．10

7．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为()

A．60 B．80 C．90 D．120

8．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为

A．2 B． C． D．

9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.

对于下列说法：

①越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.

其中正确的是：

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④

10．定义在上的函数满足，则（）

A．-1 B．0 C．1 D．2

11．在平行四边形中，若则()

A． B． C． D．

12．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)

14．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________

15．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.

16．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．

（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．

18．（12分）设函数.

（1）若恒成立，求整数的最大值；

（2）求证：.

19．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.

（1）求矩阵;

（2）求矩阵的特征值．

20．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的值；

（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．

22．（10分）已知函数.

（Ⅰ）求在点处的切线方程；

（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.

（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

分别求解出集合的具体范围，由集合