空间的直线方程.pptxVIP

§4空间直线及其关系一、空间直线方程的形式定义设L是空间中一已知直线，如果非零向量平行于直线L，则称为直线的方向向量。xyz0??M0Ms

空间直线的对称式或点向式1问题：设直线L经过定点P0(x0,y0,z0),并以2为方向向量，则直线L的位置完全确定，试建立直线L的方程。3设P(x,y,z)是空间中异于P0的任一点，则点P在直线L上的充要条件为：4由两向量平行的充要条件可得：56称（1）为直线L的对称式方程。7

在(1)式中，令则t为参数（2）称（2）式为直线L的参数方程

约定：

参数方程解：l的方向例1求过点A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线l的对称式方程、参数方程.则得l的对称式方程

空间直线一般方程添加标题称（3）式为空间直线L的一般方程添加标题当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L的就可以写成联立方程组的形式：添加标题添加标题点P0(x0,y0,z0)在L上的充要条件是：添加标题x0,y0,z0同时满足（3）式的两个平面方程.添加标题化一般方程为点向式方程或参数方程。

01添加标题例2用对称方程及参数方程表示直线添加标题0203添加标题解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得l上一定点和l的方向即可.

现求一定点.将联立方程组添加标题令z=1得x=?3,y=1,添加标题得一定点(?3,1,1).故得对称式添加标题相加:添加标题

即而得参数方程：z=1?3t.01为参数.02x=?3+4t,03y=1?t,04

01添加标题练习用对称方程表示直线添加标题0203添加标题解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得l上一定点和l的方向即可.

现求一定点.将联立方程组令x=1得y=?1,z=2,得一定点(1,－1,2).故得对称式

定理两直线的位置关系

三点到直线的距离

1、两直线的夹角两直线l1,l2的方向s1,s2之间夹角称为该两直线的夹角(通常指锐角).易知四、两直线的夹角、直线与平面的夹角令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).

特例：l1//l2??????l1?l2????s1?s2=0s1,s2线性相关.s1?s2=0

直线l2：例4求直线l1：添加标题的夹角。添加标题解：两直线的方向向量分别为：添加标题

2、直线与平面的夹角我们称直线l与它所在平面?上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求).l??n

设直线l：平面?：?ln?则n与s的夹角为

【注】由此可知：一般情形平面?的法向量n,l的方向向量v，则有：当直线l垂直与平面?时，其夹角为（II）

例5求直线l：解：直线l的方向向量平行平面π（C）在平面π上垂直平面π（D）与平面π斜交则直线l（）且有平面π：

CBA定义定理平面束

这样，方程

定理

若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.两直线之间的距离定义

定理证明由上图的几何意义容易得到

【1】求过点M0(3,3,0)且与直线l1:垂直相交的直线l的方程.解：?M0M1l1设所求直线l与l2与交点为M1(x1,y1,z1).则M0M1?s1=(1,1,2).本节综合习题

令?t+t+2?2t?6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为直线方向s=M0M1=(1?3,1?3,2?0)=(?2,?2,2).

添加标题设平面π过直线l1:添加标题且平行于直线l2：添加标题解：两直线的方向向量分别为添加标题求平面π的方程。添加标题则平面π的法向量添加标题故可假设平面的方程为：添加标题代入(1,2,3)，得D=2添加标题所以平面π的方程为：

过点P0(1,2,1)和直线l1:的平面方程。解：由于P0不在平面上，故平面不为所求平面；通过直线l的全体平面可表示为：由于点在所求平面上，故代入上式可得从而所求平面的方程为：

【练习】求直线l1:解：直线l1的方向x+y?1=0,在平面?:2x+y+2z=0上的投影直线的方程.=(1,?1,1).y+z+1=0,

再求l1与?的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解x+y?1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.消元x+y?1=0,y+z+1=0,?y+2z+2=0.x+y?1=0,y