第十五届全国大学生数学竞赛决赛数学类低年级组试卷参考答案.docxVIP

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密封线答题时不要超过此线

密封线答题时不要超过此线

第十五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

(数学类低年级组，2024年4月)

考试形式：闭卷考试时间：180分钟满分：100分

题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

满分

20

10

14

20

10

16

10

100

得分

注意：所有答题都须写在标准答题纸上，写在本试卷或其它纸上均无效.

一、(本题20分，每小题5分)填空题

1.将24阶实对称矩阵按合同关系进行分类，即两个24阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们相互合同，则共有325类.

2.设f(x)=e-2,则极限

4.微分方程xy+y=cosx定义在(-x,+x)上的全局解为

1

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二、(本题10分)在空间直角坐标系中，设椭球S的方程为

x2+2y2+3z2=4.

过动点P=(x,y,z)存在三条互相垂直的射线与椭球S相切，求动点P满足的方程.

解答.设P=(x,y,z),过P有三条互相垂直的射线与椭球S相切.又设这三条射线的单位方向向量为

e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3).

则

是一个3阶正交矩阵.……......(3分)

因为每条射线与椭球相切，射线所在直线

P+te;=(x+Ajit,y+Aj?t,z+Aj?t),t∈R,j=1,2,3与椭球S仅交于一点，即t的二次方程

(x+A?it)2+2(y+Aj?t)2+3(z+Aj?t)2=4

有重根，也就是方程

(A}?+2A}2+3A}?)t2+2(xA;1+2yAj?+3zAjs)t+(x2+2y2+3z2-4)=0的判别式

△=4[(xA;1+2yAj?+3zA;3)2-(A}?+2A}2+3A;?)(x2+2y2+3z2-4)]=0.

……(6分)

由此得到三个方程

A}rx2+4A}?y2+9A}?z2+4A;1Aj?xry+6A;iAj?xz+12A;?Ajsyz

2

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-(A2?+2A}2+3A}?)(x2+2y2+3z2-4)=0,j=1,2,3.

因为矩阵A为正交矩阵，三个列向量为单位向量，并相互垂直.将三个方程相加得到

x2+4y2+9z2-6(x2+2y2+3z2-4)=0.

于是P=(x,y,z)点满足方程

5x2+8y2+9z2=24.

...................…...................(10分)

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-密封线答题时不要超过此线

3

三、(本题14分)设A∈Rn×n,E为单位矩阵.求证A?=E当且仅当rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n.

证明.考虑多项式p=1-x,q=1+x+x2+x3.则有：(p,q)=1.故存在f(x),g(x)

使得

f(x)(1-x)+g(x)(1+x+x2+x3)=1.

结果

f(A)(E-A)+g(A)(E+A+A2+A3)=E.

……......................….......................(5分)由初等变换可得：

个

个→

故可经分块初等变换化为从而

rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n+rank(A?-E).

故得：

A?=E台rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n.

证毕.

….……...(14分)

4

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四、(本题20分)设f,g

(i)证明：

(ii)若进一步假设f,g

的下确界.

是[0,1]上有正下界的Riemann可积函数.

分段常值，试给出在此种条件下

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