线性方程组的直接法.pptxVIP

第三章解线性方程组的直接方法

§1引言

§2高斯消去法

§3选主元素的高斯消去法

§4矩阵的三角分解

§5解三对角线方程组的追赶法

§6解对称正定矩阵方程组的平方根法

1

n学习线性方程组数值解法的必要性

ü科学计算中经常遇到线性方程组求解问题

如电路分析、分子结构、测量学、运筹学、流体力学、数值逼近及微分

方程的数值解法等

ü当线性方程组的阶数较大时，人工求解已不可能。

当求解方法不得当时，即使计算机求解都很难实现。

1引言ü

对20阶的线性方程组，用Cramer法则求解，乘除法的运算次数达到9.7×1020，若用每秒钟

一亿次的计算机计算也要30万年；而用Gauss消去法求解，则只需乘除法次数为3060次，

不需1秒钟就可计算出来。

n线性方程组求解方法的分类

直接法、间接法

2



a11a12a1n



Aa21a22a2n





an1an2ann

设ARnn,若存在数和非零向量xRn,使得

矩阵的特征值和A谱x半x径

则称为A的特征值，x为A对应的特征向量。

A的特征值的全体称为A的谱，记作(A).

(A){1,2,,n}

A的谱半径为

(A)maxi

i(A)

特征值的性质及特征多项式

特征值的有关性质

üAT和A具有相同的特征向量及特征值；

ü若A非奇异，则A－1与A的特征值互为倒数，特征向量相同；

ü相似矩阵具有相同的特征值。

特征多项式

nn1

p()det(IA)c1cn1cn

nn

－

c1iaiitr(A)

i1i1

n

n＝n

cn(1)i(1)det(A)

i1

例题：P.22例3.1求矩阵的特征值及谱半径

010203

定义性质非奇异，且

nnT