2025届北京市东城区市级名校高三年级下学期第一次统练数学试题含解析.docVIP

2025届北京市东城区市级名校高三年级下学期第一次统练数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数（）的图象过点，则（）

A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心

C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴

2．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有()

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

3．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（）

A． B．

C． D．

4．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．已知是虚数单位，则复数（）

A． B． C．2 D．

6．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）

A． B．3 C．1 D．

7．设函数满足，则的图像可能是

A． B．

C． D．

8．函数的定义域为（）

A． B． C． D．

9．函数（且）的图象可能为（）

A． B． C． D．

10．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）

A． B． C．1 D．

11．是虚数单位，则（）

A．1 B．2 C． D．

12．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）

A．， B．，

C．， D．，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________.

14．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）

15．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．

16．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

19．（12分）已知双曲线及直线.

（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.

20．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面，，分别是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.

21．（12分）己知，函数.

（1）若，解不等式；

（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.

22．（10分）已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数（）的图象过点，

可得，即，

，，

故，

对于A，由，则，故A正确；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，当时，，故D错误；

故选：A

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

2．C

【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有种取法，

从5名女干部中选出1名女干部，有种取法，

则有种不同的选法；

故选：C．

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．

3．D

【解析】

利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.

【详解】

因为，，

故.

又，故.

因为当时，函数是单调递减函数，

所以.

因为为偶函数，故，

所以.

故选：D.

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题