623向量的数乘运算学历案-高一下学期数学人教A版.docx

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

1.通过问题引导，自主探究向量的数乘运算，能理解数乘运算的实际意义，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；

2.通过小组合作，结合数乘运算的定义，推导并验证向量数乘运算的运算律，培养数学抽象的核心素养；

3.通过典例分析，方法总结，能够应用向量的线性运算解决向量的计算问题，提升数学运算和逻辑推理的核心素养.

【学习重难点】

1.通过问题引导，自主探究向量的数乘运算，能理解数乘运算的实际意义，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养；

2.通过小组合作，结合数乘运算的定义，推导并验证向量数乘运算的运算律，培养数学抽象的核心素养；

【评价任务】

1.完成问题1，问题2：检测目标（1）是否达成；

2.完成问题3，问题4：检测目标（2）是否达成；

3.完成例1，变式训练：检测目标（3）是否达成．

【学习过程】

环节一创设情境，提出问题

夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．

若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880000v2.对于880000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．

【想一想】向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？

环节二小组合作，探索交流

【问题1】实数运算,x+x+x=3x,思考能否写成呢?

[提示]可以,即=.

【问题2】与的方向有什么关系?与的方向呢?

[提示]与的方向相同,与的方向相反.

【问题3】按照向量加法的三角形法则,若为非零向量,那么的长度与的长度有何关系.

[提示]的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ.

【问题4】实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量,,上式是否仍成立?

[提示]成立,向量同样满足分配律、结合律.

知识小结：

1.向量的数乘运算

1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2．规定：①|λa|＝|λ||a|，

②当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3．运算律：设λ，μ为实数，则

(1)λ(μa)＝λμa；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

4.向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.

环节三例题练习，巩固理解

例1：计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

【类题通法】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

环节四小结提升，形成结构

1.本节课学习了哪些数学知识？如何进行向量的运算呢？

2.在学习过程中我们学习了哪些数学思想方法呢？

3.通过本节课的学习，你发展了哪些数学素养呢？

【反馈练习】

A组

3(2a－b)－2(a＋3b)的化简结果为()

A．4a＋3bB．4a－9b

C．8a－9bD．4a－3b

2．在△ABC中，D为BC上一点，且BD＝2DC，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()

A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))

C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))?

3．化简：

(1)2(a－b)＋3(a＋b)；

(2)eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,2)(a－b)；

(3)3(a＋2b)－2(a＋3b)－2(a＋b).

B组

1.已知向量a,b,那么(