高等数学 课件 第八章 多元函数微积分.pptx

第八章多元函数微积分

一、二元函数的定义定义1设有三个变量x、y、z,如果当自变量x和y,在一定范围内任意取定一组数值、时,按照一定的对应法则,变量z总有唯一确定的数值与之对应,那么就称变量z是变量x,y的二元函数.记作:.其中,称x,y为自变量,称z为因变量,z在处的函数值也可以记为.定义2类似地,可以定义三元函数,四元函数及n元函数,它们和二元函数一起统称为多元函数.第一节二元函数的基本概念

二、二元函数的定义域定义3使二元函数的解析式有意义的点作成的集合称为二元函数的定义域,即:有意义。NOTE：ⅰ一般地,二元函数的定义域是坐标平面上的一个区域.ⅱ二元函数的定义域一般都是用含有x和y的不等式或不等式组表示的.

例1求下列函数的定义域并作出图形.(1)解：(1)(2)(2)yx0a-ayx0二元函数的图像是空间的一张曲面，其定义域是该曲面在xoy坐标平面上的投影。

三、二元函数的极限定义4设函数在平面区域D内点的邻域有定义(在点可以无定义).如果当点无限接近点(但不达到)时,函数值无限接近于某一常数A,那么就称常数A为函数当时的极限,记作:或.

例2求下列二元函数的极限.(1)(2)解：(1)(2)设，则

例3讨论函数当的极限的存在性.解：(1)当沿曲线趋向于时,结果会随着k的取值不同而改变，因此极限不存在！

例4求.解：

四、二元函数的连续性定义设在点的某个领域内有定义，若则称在点处连续的.1.一元函数的连续性2.二元函数的连续性定义5设在点的某个领域内有定义，若则称在点处连续的.

定义6如果函数在平面区域D内的每一点都连续,那么就称函数是平面区域D内的连续函数.定义7如果函数在点处是不连续的,则称点为函数