湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题.docxVIP

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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数（???）

A． B． C． D．

2．设，向量，，，且，，则＝

A． B． C． D．10

3．已知角的终边过点，则（????）

A． B． C． D．

4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（???）

A．1 B． C． D．3

5．已知定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（???）

A． B． C． D．

6．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

7．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（????）

A．有一个角是的等腰三角形

B．等边三角形

C．三边均不相等的直角三角形

D．等腰直角三角形

8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内动点.若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．关于复数z，下面是真命题的是（???）

A．若，则 B．若，则

C． D．若，则

10．如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（???）

A．PC与MO是异面直线 B．直线NO与PC的夹角为

C． D．四棱锥的外接球的表面积为

11．定义：一个正整数n的划分是指将n写成若干个正整数和的一个式子，而且这些正整数是无序的，其划分个数记为.例如：

1的划分只有一个：1；.

2的划分有两个：2，；.

3的划分有三个：3，，；.

记为将表示成个正整数之和的方法数；为将表示成和式中最大正整数为的方法数；为将表示成不多于个正整数之和的方法数；为将表示成任意个不大于的正整数之和的方法数.下列命题正确的是（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．计算：．

13．已知，为单位向量，且，则..

14．在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是..

四、解答题

15．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.

(1)求证：平面；

(2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.

16．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．

(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；

(2)若方程在上的解为，，求．

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若，，求面积S的最大值.

18．定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，.

(1)若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且；

①求CD的长；

②若，求的值.

(2)若，求四边形ABCD面积的最大值.

19．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，则可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.

(1)利用结论，求出的值；（提示：）

(2)在切比雪夫多项式中证明：；

(3)设函数，其中a，.若对任意a，，总存在，使得，求实数的取值范围.

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《湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

B

D

B

D

D

D

BD

BCD

题号

11

答案

ABC

1．B

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可.

【详解】因为，所以，则.

故选：B

2．B

【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，

∴，∴，∴．

考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．

3．B

【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可.

【详解】因为角的终边过点，所以，

所以.

故选：B．

4．D

【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积.

【详解】在梯形中，