复变函数课件.pptx

第三章复变函数与积分变换复变函数的积分第1页

§3.1复积分概念一、复积分定义二、积分存在条件及其计算法三、积分性质第2页

一、复积分定义1.有向曲线:设C为平面上给定一条光滑(或按段光滑)曲线,假如选定C两个可能方向中一个作为正方向(或正向),那么我们就把C了解为带有方向曲线,称为有向曲线.假如A到B作为曲线C正向,那么B到A就是曲线C负向,第3页

闭曲线正向定义:简单闭曲线C正向是指当曲线上点P顺此方向前进时,邻近P点曲线内部一直位于P点左方.与之相反方向就是曲线负方向.曲线方向说明:普通:曲线C正方向总是指从起点到终点方向.那么终点到起点方向就是曲线C负向,记为C-对分段光滑闭曲线而言,逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向尤其申明今后所说曲线总是指光滑或逐段光滑曲线,尤其说明例外.第4页

2.复积分定义:第5页

(第6页

关于定义说明:第7页

二、积分存在条件及其计算法1.存在条件证第8页

依据曲线积分存在定理,第9页

当n无限增大而弧段长度最大值趋于零时,第10页

在形式上能够看成是公式第11页

2.积分计算法第12页

在今后讨论积分中,总假定被积函数是连续,曲线C是按段光滑.第13页

例1解直线段方程为这两个积分都与路线C无关都有第14页

例2解(1)积分路径参数方程为y=x第15页

(2)积分路径参数方程为y=x第16页

y=x(3)积分路径由两段直线段组成x轴上直线段参数方程为1到1+i直线段参数方程为此例说明积分与路线相关．注：第17页

例3解C参数方程为主要结论：积分值与路径圆周中心和半径无关.第18页

三、积分性质复积分与实变函数定积分有类似性质.估值不等式第19页

性质(4)证实两端取极限得[证毕]第20页

例4解依据估值不等式知第21页

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小结与思索本课学习了复积分定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数积分有跟微积分学中线积分完全相同性质.本课中重点掌握复积分计算普通方法.思索题第23页

即为一元实函数定积分.思索题答案第24页

§3.2柯西积分定理一、问题提出二、基本定理四、原函数三、复合闭路定理第25页

一、问题提出观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例2,柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.因为不满足第26页

由以上讨论可知,积分是否与路线相关,可能决定于被积函数解析性及区域连通性.受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出以下定理:观察上节例３,说明积分与路线相关．第27页

二、基本定理柯西积分定理定理中C能够不是简单曲线.1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”条件下，得到一个以下简单证实．第28页

黎曼证实且满足C—R方程：由格林公式定理又称为柯西－古萨定理.内连续”假设，发表上述定理新证实方法．所以，19,法国数学家古萨（Goursat）免去“在D古萨介绍第29页

解析函数在单连通域内积分与路线无关．由定理得即：如图，则第30页

关于定理说明:(1)假如曲线C是区域Ｄ边界,(2)假如曲线C是区域Ｄ边界,定理仍成立.第31页

例1解依据柯西－古萨定理,有说明：本题若用复积分计算公式，将很复杂．第32页

例2解依据柯西－古萨定理得都在曲线第33页

三、复合闭路定理1.闭路变形原理︵︵第34页

从而有︵︵︵︵解析函数沿闭曲线积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)不解析点.第35页

即柯西积分定理对于以两条闭曲线（复合闭路）为边界多连通区域仍成立．第36页

2.复合闭路定理那么第37页

这个定理是计算闭线内部有多个奇点积分有效工具!!!第38页

例3解圆环域边界组成一条复合闭路,依据闭路复合定理,第39页

例4解由闭路变形原理,第40页

此结论非常主要,用起来很方便,因为C无须是圆,a也无须是圆圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.主要积分公式第41页

解（方法一）依题意知,例5由上例结论，第42页

（方法二）依据复合闭路定理,分割包围!柯西积分定理主要公式柯西积分定理主要公式第43页

四、原函数由柯西积分定理，1.变上限积分:解析函数在单连通域内积分与路线无关．则第44页

定理证利用导数定义来证.定理第45页

(1)因为积分与路线无关,第46页

所以第47页

此定理与微积分学中对变上限积分求导定理完全类似.[证毕]由积分估值性质,第48页

2.原函数定义:原函数之间关系:它就有没有穷