天津市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题.docx

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天津市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集，集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“方程有实数根”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．设，，，则a，b，c的大小关系为（????）．

A． B． C． D．

4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A．

B．

C．

D．

5．函数在区间上的图象大致为（???）

A． B．

C． D．

6．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为

A．? B． C． D．

7．已知球为正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面边长为，且球的表面积为，则这个正三棱柱的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数.对于下列四种说法，正确的是（????）

①函数的图象关于点成中心对称

②函数在上有个极值点.

③函数在区间上的最大值为，最小值为

④函数在区间上单调递增

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④

9．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

10．已知是虚数单位，化简的结果为．

11．二项式的展开式中的系数为．

12．．

13．已知直线与圆有两个不同的交点，则k的取值范围是．

14．已知x，，，则的最小值．

15．如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则；点是线段上的一个动点，则的最大值为．

??

三、解答题

16．在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且.

(1)求c的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

17．如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角的大小；

(3)求点到平面的距离.

18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.

19．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.

(1)求和的通项公式；

(2)若，求

20．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；

(2)当时，求的单调区间；

(3)已知的导函数在区间上存在零点．求证：当时，．

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《天津市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

D

D

B

D

A

A

B

B

D

1．D

【分析】求出集合B，再求并集、补集可得答案.

【详解】集合，

则.

故选：D.

2．D

【分析】根据一元二次方程有解的等价条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若方程有实数根，则判别式，即，

即“”是“方程有实数根”的既不充分又不必要条件，

故选：D．

3．B

【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解.

【详解】，

，

，

又，

所以.

故选：B.

4．D

【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确.

5．A

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】因为，且区间关于原点对称，

，

所以，函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，，此时，，排除C选项.

故选：A.

6．A

【分析】设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.

【详解】设，

由双曲线的定义得：，解得：，

所以，

因为，所以，

所以双曲线的渐近线方程为.

【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注