第五讲函数的单调性、奇偶性、周期性讲义解析版.docxVIP

第五讲：函数的单调性、奇偶性、周期性

【考点梳理】

1．增函数与减函数

一般地，设函数的定义域为：

(1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．

(2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．

2．函数的最大值与最小值

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．

(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．

3．函数单调性的两个等价结论

设则

(1)(或在上单调递增。

(2)(或?f(x)在上单调递减．

4．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果函数的定义域内任意一个

都有，那么函数是偶函数

关于对称

奇函数

如果函数的定义域内任意一个

都有，那么函数是奇函数

关于原点对称

5.奇偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.

(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.

(3)若是奇函数且处有意义，则.

6．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

(3)常见结论：若，则；若，则；若，则.

【典型题型讲解】

考点一：函数的单调性

【典例例题】

例1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有0成立，则必有（???????）

A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数

C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增

【答案】A

【详解】

由0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)f(b)，或当ab时，f(a)f(b)，所以f(x)在R上是增函数.

故选：A.

【方法技巧与总结】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

【变式训练】

1.已知函数，若，则实数的取值范围是___.

【答案】

解：和在上都是单调递减，

在上单调递减，

由，可得，解得，即．

故答案为：

2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（???????）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

不妨设，因为，

所以，

故是上的增函数，原不等式等价于，解得．

故选：B.

3．（2022·广东惠州·一模）已知，则当时，与的大小关系是（????）

A．B．C．D．不确定

【答案】B

【详解】解：由函数，

得函数在上递增，在上递减，在上递增，

作出函数和的图像，如图所示，

令，得或，

结合图像可知，当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上所述，当时，.

故选：B.

4.“”是“函数是在上的单调函数”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

依题意，函数是在上的单调函数，

由于在上递增，所以在上递增，

所以且，即.

所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为R，有，即，

即与同号，所以在R上单调递增，

即在上单调递增，则，故；

因为在处的切线方程为，即，

又，所以与没有公共点，

若函数仅有一个零点，

所以函数与图象仅有一个交点，

则与有且仅有1个公共点，且为，

所以在处的切线的斜率k大于等于1，

而，得，

即，解得，

综上，的取值范围为.

故选：C.

6．若函数是上的单调函数，则的取值范围（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：

故选：B

考点二：判断函数的奇偶性

【典例例题】

例1.已知函数，则（???????）

A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增

C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减

【答案】B

【详解】

解：定义域为，且，

所以为奇函