2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义（学生版）.docx

2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义

专题解读

二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.

解题方法

二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等

典例、（2024南京中考25题）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上．

(1)当取最小值时，____________．

(2)用含的代数式表示．

(3)已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．

变式、（2024南京模拟预测）已知函数．

(1)若函数图象经过点，求m的值；

(2)若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标；

(3)若函数满足时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为，．求证：．

1．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．

(1)的值为______；

(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；

(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．

2．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数．

(1)直接写出该函数图象的对称轴．

(2)求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴．

(3)点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围．

3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）．

(1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)设该函数图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m的值．

4．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数过点．

(1)用含m的代数式表示n；

(2)求证：该函数的图像与x轴总有公共点；

(3)若点在该函数图像上，且当时，总有．直接写出m的取值范围．

5．（2025·江苏南京·模拟预测）数、形二法“战”不等式！

(1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②．

解不等式组①，得，解不等式组②，得．

所以，不等式的解集是．

(2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是．

6．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．

(1)；

(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；

(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为．

7．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数．

(1)如果直线经过二次函数图象的顶点，求此时的值；

(2)随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由；

(3)将该二次函数以为对称轴翻折后的图象过点（a未知，b为常数），求原函数与轴的交点纵坐标．

8．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）．

(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；

(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．

9．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数）

(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．

(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．

10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数）

(1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点；

(2)该函数一定经过两个定点，分别是，；

(3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围．

11．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标；

(2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围．

12．（2024·江苏南京·三模