矩阵理论 课件 第1章第1节矩阵的初等变换.pptxVIP

MATRIXTHEORY

矩阵理论

第1章

矩阵理论基础

目录

1.1矩阵的初等变换

1.2分块矩阵

1.3矩阵的特殊乘积

1.4矩阵的特征值与特征向量

1.5矩阵可对角化的条件

1.1矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换的概念

定义1.1如下3种变换称为矩阵的初等变换.

(1)将第i行(列)与第j行(列)交换位置，用r;→r;(c;→c;)表示.

(2)用非零数k乘以矩阵第i行(列)的所有元素，用kr;(kc;)表示.

(3)将第j行(列)的所有元素乘以数k后加到第i行(列)的对应元素上，用r+kr;(c₁+kc;)表示.

定义1.2一个矩阵A经过有限次初等变换后变为矩阵B,称矩阵A与B等价.记为A≌B.

等价关系具有以下性质：

(1)反身性：A≌A.

(2)对称性：若A≥B,则B≌A.

(3)传递性：若A=B,B≌C,则A≌C.

定义1.3若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素下方的元素全为零，则称这样的矩阵

为行阶梯形矩阵；若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素为1,并且其所在列的其他元素全为零，则称这样的矩阵为行最简形矩阵.

显然，矩阵

都是行阶梯形矩阵，其中第3个是行最简形矩阵.

定理1.1任何一个矩阵A经过有限初等行变换可化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵.

例1.1将如下矩阵A化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

解对矩阵A进行一系列初等行变换可得：

行阶梯行矩阵和行最简形矩阵分别为

矩阵的初等变换

初等矩阵

定义1.4单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.3种初等变换对应3种初等矩阵.

(1)交换单位矩阵E的第i行(列)与第j行(列)得到的初等矩阵记为

(3)将单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行素(E的第i列的k倍加到第j列)上得到的

初等矩阵记为

(2)用非零数k乘以单位矩阵E的第i行(列)得到的初等矩阵记为

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

注初等矩阵皆为逆矩阵，且E(i,j)⁻¹=E(i,j),E(i(k)⁻¹=E(i(k-)),E(i,j(k))⁻¹=E(i,j(-k)).

定理1.2设A是一个m×n矩阵，则对矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相

应的m阶初等矩阵；对矩阵A进行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

例1.2设A是一个3×4矩阵，交换A的第1行和第3行得到矩阵B,将矩阵B的第3列的2倍加

到第1列上得到矩阵C,若记

则C=PAQ.

对可逆矩阵A=(a;)nxn进行m次初等行变换得到单位矩阵E,相当于A依次左乘初等矩阵

P,P₂,…,Pm得到E,记P=PmPm-1…P₁,则PA=E,即PE=A-¹,从而表明对E实施前述一系列初等行变换就得到A⁻¹.将求可逆矩阵逆的步骤总结如下：

第一步：把A和E放在一起排成一个n×2n的矩阵(A,E),即

矩阵的初等变换

利用初等变换求矩阵逆的方法

第二步：对矩阵(A,E)实施初等行变换，使其变为(E,B),即

注若将A排在上部、E排在下部，对其进行初等列变换，则将上部变为E、下部变为A⁻¹.

例1.3用初等变换求如下矩阵A的逆矩阵：

解对矩阵(A,E)做如下一系列初等行变换：

矩阵的初等变换

则B=A-¹.

矩阵的初等变换

于是

矩阵的初等变换

相似地，可以利用初等变换求解矩阵方程AX=B.例1.4求矩阵X,使得AX=B,其中

解对矩阵(A,B)做如下一系列初等行变换：

于是

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