矩阵理论 课件 第1章第2节分块矩阵.pptx

1.2分块矩阵

分块矩阵

分块矩阵的概念

定义1.5用水平和垂直的直线对矩阵进行分割得到的“以矩阵为元素的矩阵”称为分块

矩阵.称这些作为元素的矩阵为矩阵的子块.

例如，设矩阵

若令

则矩阵A可表示为

简记为A=(A)sx,称为s×t分块矩阵.

注常用的分块矩阵有如下两种形式：

(1)按行分块：

其中A,=(a;,ai₂,…,ain)为矩阵A的第i行，i=1,2,…,m,A₁,A₂,…,Am为矩阵A的m个行向

量.

分块矩阵

通常，可将一个矩阵A分块成有s个块行和t个快列的分块矩阵：

其中B,=(a₁;,a₂,,…,am)为矩阵A的第j列，j=1,2,…,n,B₁,B₂,…,B,为矩阵A的n个列

向量.

分块矩阵

(2)按列分块：

分块矩阵

分块矩阵的运算

(1)分块矩阵的加(减)法

设矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块方法，即

则有

(3)分块矩阵的乘法

设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，且两者的分块形式分别为

分块矩阵

(2)分块矩阵的数乘

其中A₁,A;2,…,A,的列数分别等于B₁;,B₂;,…,B,的行数，i=1,2,…,s,j=1,2,…,p,则

设矩

(4)分块矩阵的转置

设

,则有

注分块矩阵不

但形式上进行转置，而

且每个子块也进行转置.

分块矩阵

其中

分块矩阵

分块对角矩阵

定义1.6当n阶矩阵A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块，而其余子块均为零矩阵，且非

零子块都为方阵时，即

则称矩称准对角矩阵，记为A=diag(A₁,A₂,…,Am),其中A,是n;阶

方阵，

常用的性质：

(1)若A=diag(A₁,A₂,…,Am),B=diag(B₁,B₂,…,Bm),且A和B;(i=1,2,…,m)为同阶方

阵，则

(3)若detA,≠0(i=1,2,…,m),则detA≠0,即A可逆，且

A⁻¹=diag(A⁻¹,A⁻¹,…,A⁻¹).

分块矩阵

分块矩阵

,求A-¹.

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