矩阵理论 课件 第2章第1节线性空间.pptxVIP

MATRIXTHEORY

矩阵理论

山东科技大学张子叶

第2章

线性空间与线性变换

目录

2.1线性空间

2.2线性子空间

2.3线性变换

2.4线性变换的值域、核及不变子空间

2.5线性空间的同构

2.6内积空间

2.1线性空间

线性空间

线性空间的概念与性质

定义2.1设V是一个非空集合，P是一个数域，对V中的元素定义以下两种代数运算(其中α,β,y∈V,k,l∈P).

(1)加法：使得Va,β∈V,有α+β∈V.

(2)数乘：使得Va∈V和k∈P,有ka∈V.

也就是说，V对于加法和数乘运算封闭，且这两种运算满足以下8条运算规律.

(1)加法交换律：α+β=β+α.

(2)加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ).

(3)存在零元θ,使α+θ=α.

(4)存在负元，即对任意α∈V,存在β∈V,使α+β=θ,称β为α的负元，记为-α.

(5)la=α.

(6)数乘结合律：k(la)=(kl)α.

线性空间

(7)分配律：(k+l)α=ka+la.

(8)数因子分配律：k(α+β)=ka+kβ.

此时，称V为数域P上的线性空间或向量空间.

线性空间的元素也称向量.当然，这里所谓的向量比R的向量的含义要广泛得多.实数域R上的线性空间简称实线性空间，复数域C上的线性空间简称复线性空间.

例2.1n维实(复)向量的全体R(C)按通常的向量加法和数乘运算构成线性空间.

例2.2m×n维实(复)矩阵的全体Rxn(Cmxn)按通常的矩阵加法和数乘运算构成线性空

间，称为矩阵空间.

例2.3实数域上所有次数不超过n的多项式全体按通常多项式的加法和数乘运算构成线

性空间，称为多项式空间.记为

P[x],={a₀+ax+a₂x²+…+a,x|a,∈R,i=0,1,2,…,n}

例2.4闭区间[a,b]上连续函数的全体按通常函数的加法与数乘运算构成线性空间，记为C[a,b].

例2.5二阶齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=0解的全体按通常函数的加法与数乘

运算构成线性空间..

例2.6齐次线性方程组Ax=0解的全体

N(A)={x|Ax=0}

在向量的加法和数乘运算下构成线性空间，称N(A)为齐次线性方程组Ax=0的解空间或

矩阵A的核空间.

例2.7设R+是所有正实数的集合，在其中定义加法与数乘运算分别为

a田b=ab,koa=a(a,b∈R+,k∈R)

验证R+对上述加法与数乘运算构成实数域R上的线性空间.

证对任意a,b∈R+,有a田b=ab∈R*;对任意k∈R和a∈R+,有koa=ak∈R,即

R+对所定义的加法与数乘运算封闭.对任意a,b,c∈R*,k,l∈R,有以下结论.

(1)a田b=ab=ba=b田a.

(2)(a田b)田c=(ab)田c=(ab)c=a(bc)=a田(b田c).

线性空间

线性空间

(3)a+1=a·1=a,称1是零元.

(4)a田a¹=aa⁻¹=1,故a¹是a的负元.

(5)loa=a¹=a.

(6)ko(loa)=koa¹=(a)=a“=(lk)oa.

(7)(k+l)oa=a*+¹=aa¹=ak田a¹=(koa)田(loa).

(8)ko(a田b)=ko(ab)=(ab)*=a^bk=(koa)田(kob).

因此，R+对这两种运算构成实线性空间.

线性空间具有如下一些基本性质.

性质1零元是唯一的.

证设0₁和0₂是线性空间V的两个零元，则由θ₁是零元得θ₁+θ₂=θ₂,又由θ₂是零元得

θ₁+θ₂=θ₁,故θ₁=θ₂.

线性空间

性质2任一元素α的负元是唯一的.

证设β和y都是α的负元，即α+β=θ,α+y=θ,于是

β=β+θ=β+(α+y)=(β+α)+y=θ+y=γ

性质30α=θ,(-1)α=-a,kθ=θ.

证因为

α+0α=lα+0α=(1+0)α=la=α

所以0α=θ.又因为

α+(-1)α=lα+(-1)α=(1-1)α=0α=θ

所以(-1)α=-α.由此可得

kθ=k[α+(-α)]=k[la+(-1)α]=k[(1-1α]=(kO)α=0α=θ

性质4若ka=θ,则k=0或α=θ.

证若k=0,由性质3可得ka=0α=θ;若k≠0,则由性质