矩阵理论 课件 第2章第2节线性子空间.pptx

2.2线性子空间

线性子空间

线性子空间的概念

定义2.7设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V中的加法和数

乘也构成P上的线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称子空间.

对于线性空间V,显然，仅由V的零元构成的集合{θ}是V的子空间，称为V的零子空间；V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间或假子空间，V的其他子空间称

为V的非平凡子空间或真子空间.

由于子空间也是线性空间，因此前面引入的有关基、维数与坐标等的概念对子空间也

成立.

在判断一个非空子集是否为子空间时，可以按照线性空间的定义来判断，但利用定理

2.9来判断更方便.

线性子空间

定理2.9数域P上的线性空间V的非空子集W是V的子空间的充要条件是W对于V中规

定的加法与数乘运算封闭，即满足以下条件.

(1)如果α,β∈W,则α+β∈W.

(2)如果α∈W,k∈P,则ka∈W.

证必要性显然成立.下面证明充分性.

因为W对于V中的加法与数乘运算封闭，所以只需验证其满足定义2.1中的8条运算规律.由

于W中的元素均是V中的元素，因此定义2.1中的(1)、(2)、(5)~(8)显然成立.又设α∈WcV,由于θ=α+(-1)α∈W,-α=(-1)a∈W,故(3)与(4)也成立，从而证明W是一个线性空间.

显然，如果W是V(dimV≥2)的非平凡子空间，则0dimWdimV.

例2.18P[x],-1是线性空间P[x],的子空间

例2.19设A∈Cm×n,则齐次线性方程组Ax=0解空间(也称矩阵A的核空间)

N(A)={x∈C|Ax=0}

是C的子空间，且dimN(A)=n-rank(A).

例2.20函数集合{f(x)∈C[a,b]|f(a)=0}是线性空间C[a,b]的子空间.

例2.21函数集合{f(x)∈C[a,b]|f(a)=1}不是线性空间C[a,b]的子空间.

例2.22取线性空间R×n的子集

SR={A|A=A,A∈R}

证明SR×是R×n的子空间，并求其维数.

证因为0∈SR×n,所以SR×n非空.对任意A,B∈SRn,有AT=A,BT=B,从而

(A+B)T=A⁷+BT=A+B,即A+B∈SRn;又对任意k∈P和A∈SRxn,有

(kA)T=kAT=kA,即kA∈SR×,故SR×n是R×”的子空间.取SRxn中的个矩

F,=E,;+E;(i,j=1,2,…,n;ij)F=E(i=1,2,…,n)

容易证明该矩阵组线性无关，且对任意A=(a;)nxn∈SR×,有

故

阵

线性子空间

证明W是P[x]3的子空间，并求W的维数.

证因为0∈W,所以W非空.对任意f(x),g(x)∈W,k∈P,有

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³,g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+b₃x³

其中，a₀+a₁+a₂=0;b₀+b₁+b₂=0.由于

f(x)+g(x)=(a₀+b₀)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²+(a₃+b₃)x³

kf(x)=(ka₀)+(ka₁)x+(ka₂)x²+(ka₃)x³

且

(a₀+b₀)+(a₁+b₁)+(a₂+b₂)=(a₀+a₁+a₂)+(b₀+b₁+b₂)=0

(ka₀)+(ka₁)+(ka₂)=k(a₀+a₁+a₂)=0

因此f(x)+g(x)∈W,kf(x)∈W,故W是P[x]₃的子空间.取W中的3个多项式

f₁(x)=1-x,f₂(x)=1-x²,f₃(x)=x³

线性子空间

例2.23取线性空间P[x]的子集

容易证明该多项式组线性无关，且对任意f(x)∈W,都有

f(x)=-af(x)-a₂f₂(x)+a₃f₃(x)

故dimW=3.

常用以下方法来得到子空间.

定理2.10设V是数域P上的线性空间，在V中任意取m个向量α₁,a₂,…,αm,令

W={kα₁+k₂a₂+…+kαm|k,k₂,…,km∈P}

则W是V的子空间，称之为由α₁,a₂,…,αm生成的子空间，记span{α₁,a₂,…,αm}.

证由于α₁∈W,所以W非空.对任意α,β∈W,k∈P,都有

ka=(kk₁)α₁+(kk₂)α₂+…+(kkm)αm∈W

故W是V的子空间.

注生成子空间的重要意义在于有限维